证明 Clique Decision 问题是 NP-Complete

简介

NP-Complete 是计算机科学中重要的概念，指一类问题，即给定一个问题，验证解是否正确的算法可以在多项式时间内运行，但找到问题的解的算法在最坏情况下可能需要非常长的时间。

Clique Decision 问题是 NP-Complete 类别中的一个典型问题。该问题描述如下：给定一个无向图和一个整数 k，判断是否存在一个大小为 k 的团（clique），即其中的每两个顶点之间都有边相连。

证明过程

要证明 Clique Decision 问题是 NP-Complete，需要经历下面两个步骤：

1. 证明 Clique Decision 问题属于 NP 类别。
2. 证明 Clique Decision 问题是 NP-Hard 的。

证明 Clique Decision 问题属于 NP 类别

为了证明 Clique Decision 问题属于 NP 类别，需要证明对于一个给定的解，我们可以在多项式时间内验证其正确性。

假设给定一个图 G 和一个整数 k，以及一个大小为 k 的顶点集合 S。为了验证 S 是否是一个团，只需要检查 S 中的每对顶点是否都有边相连。这个过程的时间复杂度是 O(k^2)，是多项式时间。

因此，Clique Decision 问题属于 NP 类别。

证明 Clique Decision 问题是 NP-Hard 的

为了证明 Clique Decision 问题是 NP-Hard 的，需要将其规约到一个已知的 NP-Complete 问题。这里选择将 Clique Decision 问题规约到 Vertex Cover 问题。

Vertex Cover 问题描述

给定一个无向图 G 和一个整数 k，找出一个顶点集合 S，使得 G 中的每条边都至少有一个端点属于 S，并且 S 的大小不超过 k。

证明流程

1. 假设存在一个算法 A，可以在多项式时间内解决 Vertex Cover 问题。
2. 构建一个算法 B，利用 A 解决 Clique Decision 问题：
   • 给定一个无向图 G 和一个整数 k，将 G 中的每条边反向，得到图 G'。
   • 将 G' 和 k 作为输入，调用 A 算法解决 Vertex Cover 问题。
   • 如果算法 A 返回 "Yes"，则说明存在一个大小不超过 k 的顶点集合 S，使得 G' 中的每条边都至少有一个端点属于 S。
   • 如果 S 是 G' 的一个顶点集合，则 S 中的顶点构成一个团（clique）。
   • 因此，如果算法 A 返回 "Yes"，则算法 B 返回 "Yes"；如果算法 A 返回 "No"，则算法 B 也返回 "No"。
3. 由于 A 是一个多项式时间的算法，B 也是一个多项式时间的算法。
4. 因此，Clique Decision 问题可以通过调用 A 算法解决 Vertex Cover 问题来解决，证明 Clique Decision 问题是 NP-Hard 的。

由于 Clique Decision 问题既属于 NP 类别又是 NP-Hard 的，因此可以认为 Clique Decision 问题是 NP-Complete 的。

代码片段

	
    # 证明 Clique Decision 问题是 NP-Complete

	## 简介

	...

	## 证明过程

	...

	### 证明 Clique Decision 问题属于 NP 类别

	...

	### 证明 Clique Decision 问题是 NP-Hard 的

	...

	#### Vertex Cover 问题描述

	...

	#### 证明流程

	...

	```python
	# Python 代码示例
	def clique_decision(graph, k):
	    # 检查顶点集合是否构成团
	    def is_clique(vertices):
	        for i in range(len(vertices)):
	            for j in range(i + 1, len(vertices)):
	                if not graph[vertices[i]][vertices[j]]:
	                    return False
	        return True
	
	    # 遍历所有可能的 k 个顶点的组合
	    def find_clique(k):
	        def backtrack(temp, start):
	            if len(temp) == k:
	                if is_clique(temp):
	                    return True
	            else:
	                for i in range(start, len(graph)):
	                    temp.append(i)
	                    if backtrack(temp, i + 1):
	                        return True
	                    temp.pop()
	            return False
	
	        return backtrack([], 0)
	
	    return find_clique(k)
	```

	...