用于查找第 n 项为 n^2 - (n-1)^2 的系列之和的Python程序

我们在一个系列中给出一个整数 n 和第 n 项，如下所示：

Tn = n2 - (n-1)2

我们需要找到 S _n mod (10 ⁹ + 7)，其中 S _n是给定序列的所有项的总和，并且，

Sn = T1 + T2 + T3 + T4 + ...... + Tn

例子：

Input : 229137999
Output : 218194447

Input : 344936985
Output : 788019571

在编写程序之前，让我们做一些计算。 T _n可以归约为 2n-1 。让我们看看如何：

Given, Tn = n2 - (n-1)2
Or, Tn =  n2 - (1 + n2 - 2n)
Or, Tn =  n2 - 1 - n2 + 2n
Or, Tn =  2n - 1. 

现在，我们需要找到 ∑T _n 。

∑T _n = ∑(2n – 1)

我们可以将上面的公式简化为，
∑(2n – 1) = 2*∑n – ∑1
或者，∑(2n – 1) = 2*∑n – n。
其中，∑n是前n个自然数之和。

我们知道 n 个自然数之和 = n(n+1)/2。

因此，将这个值放在上面的等式中，我们会得到，

∑T _n = (2*(n)*(n+1)/2)-n = n ²

现在 n ²的值可以非常大。因此，不要直接对 n 求平方并取结果的 mod。我们将使用模乘的性质来计算平方：

(a*b)%k = ((a%k)*(b%k))%k

# Python program to find sum of given
# series.
  
mod = 1000000007
def findSum(n):
    return ((n % mod) * (n % mod)) % mod
      
      
# main()
n = 229137999    
print (findSum(n))
  
# Contributed by _omg

输出：

218194447

有关详细信息，请参阅完整的文章 Find sum of Series with n-th term as n^2 – (n-1)^2！