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📜  转动惯量

📅  最后修改于: 2022-05-13 01:57:37.785000             🧑  作者: Mango

转动惯量

物体的运动可以有多种类型，如直线运动、圆周运动和旋转运动。根据牛顿第一运动定律，如果一个物体是静止的，它将保持静止状态，如果它处于运动状态，它将保持运动，除非对其施加外力。这是由于身体的惯性。就像直线运动有惯性一样，旋转运动也有惯性矩。在本文中，我们将研究这个惯性矩。此外，我们将研究惯性矩的定义、数学表达式、应用和定理，以及更多关于惯性矩的知识。因此，在了解转动惯量的一种方式中，我们应该了解如下所示的基本概念：

质量中心

物体或粒子系统的质心是可以假设该物体或粒子系统的整个质量为中心的点，使得单个粒子的旋转速度等于物体的总质量-以质心为中心是完全相同的。整个身体的运动也是如此。 “系统的质心是可以认为系统所有质量集中的点”。

刚体的旋转运动

如果一个物体停在一个点上，它可以绕着这个点自由移动，那么当一个外力施加到物体上时，它不会沿着力的方向移动，而是沿着穿过该点的轴移动点开始移动。物体的这种运动称为旋转运动，物体围绕其旋转的轴称为旋转轴。 “当通过在刚体上施加一个力或几个力时，该刚体围绕一个通过的轴旋转的恒星围绕通过自身的轴旋转，那么它的运动称为旋转运动”。

转动惯量

就像直线运动有惯性一样，旋转运动也有惯性矩。根据牛顿第一运动定律，静止的物体将保持静止，而运动的物体将继续以相同的速度沿直线运动，除非对其施加外力，即物体可以它不会自动改变它的位置，但是当一个外力施加在物体上以改变它的位置时，那个物体就会反对它。物体的这种趋势称为惯性。

同样，旋转运动中的每个人，无论是围绕旋转轴运动还是能够旋转，但处于静止状态，都反对外力引起的变化。身体的这种趋势称为惯性矩。

因此，一个物体在旋转运动时，会抵抗施加于改变其旋转状态的外力力矩，这种趋势称为它的转动惯量。

转动惯量是一个标量。在数学上，粒子质量的平方与到旋转轴的距离的乘积称为粒子绕旋转轴的转动惯量。

假设一个质量为m的粒子相对于旋转轴XY运动，那么该粒子关于XY的转动惯量为I = mr 2

物体转动惯量的表达式

设刚体以匀角速度ω绕轴AB运动，该轴经过垂直于平面的点O。假设这个物体由许多质量为 m1、m2、m3、……等的小粒子组成。它们与旋转轴的距离分别为 r1、r2、r3……等。

根据定义，粒子绕轴AB的转动惯量 = 粒子的质量 * 粒子到旋转轴的距离的平方

所以，第一个粒子的转动惯量 = m1*r1 2

第一个粒子的转动惯量 = m2*r2 2

第一个粒子的转动惯量 = m3*r3 2

………………………………………..等等。

现在整个物体绕旋转轴AB的惯性矩将等于所有粒子的惯性矩之和，所以

I = m1*r1 2 + m2*r2 2 + m3*r3 2 +……

或I = Σ m*r 2

这里I代表整个身体绕旋转轴的转动惯量，符号Σ代表总和。从方程可以清楚地看出，物体绕旋转轴的转动惯量等于该物体每个粒子的质量与其到旋转轴的垂直距离的平方的乘积之和。

回转半径

物体的回转半径是以物体的总质量为中心得到的转动惯量与物体的实际转动惯量相等的点到转动轴线的距离的垂线。用 K 表示。

如果物体的质量和回转半径分别为 M 和 K，则物体的转动惯量为

我 = MK 2 ……1

因此，物体的回转半径是垂直于旋转轴的半径，其平方乘以该物体的质量得出该物体绕该轴的惯性矩。

再次由等式 1，K 2 = I/M

或K = √I/m

因此，物体绕轴的回转半径等于物体绕该轴的比率的平方根。

转动惯量定理

关于惯性矩，有三种类型的定理非常重要：

  1. 加法定理，
  2. 纵轴定理和
  3. 平行轴定理。

加法定理

由许多粒子组成的系统围绕单个旋转轴的惯性矩等于每个粒子围绕该轴的惯性矩之和。若I 1 、I 2 、I 3 ……..等分别为系统不同粒子绕同一旋转轴的转动惯量，则为系统总转动惯量。

我 = 我1 + 我2 + 我3 + ………………。

显然，如果从具有惯性矩I的物体上移除惯性矩I'的一部分，那么剩余的物体将具有关于同一旋转轴的剩余惯性矩 = (I – I')。

垂直轴定理

物体绕位于物体平面内的两个相互垂直的轴的惯性矩之和等于物体绕垂直于两个轴并通过它们的交点的第三轴的惯性矩.

在上图中。 OX和OY是物体平面中相互垂直的两个这样的轴。第三个轴是OZ ，它垂直于身体平面并通过OX轴和OY轴的交点。如果我x ，我y ， 和I z分别是物体绕轴OX 、 OY和OZ轴的转动惯量，那么根据这个定理

我x + 我y = 我z

平行轴定理

根据该定理，物体绕给定轴的转动惯量是绕通过该物体质心的轴的转动惯量与物体质量的平方和两轴之间的垂直距离。

让在上图中，我们必须找到物体通过点 O并绕垂直于平面的轴的转动惯量，而物体通过质心C的转动惯量和关于与给定轴平行的轴是I C ，然后根据这个定理

I O = I C + Ml 2

其中M是整个物体的质量， l是两个轴之间的垂直距离。

一些规则体的转动惯量

  • 实心矩形板：如果板的质量为 M，长度为 l，宽度为 b，则通过重心并绕垂直于板平面的轴的转动惯量。

我 = M( l 2 + b 2 / 12)

  • 圆盘：如果圆盘的质量为 M，半径为 r，那么关于圆盘几何轴的转动惯量为

I = 1/2（ 2先生）

  • 均匀细杆：如果杆的质量为 M，长度为 l，则绕垂直于杆长并通过其重心的轴的转动惯量

I = Ml 2 /12

  • 圆环：如果环的质量为 M，环的半径为 r，则绕垂直于环中心的轴的转动惯量为

我 = 先生2

  • 实心球体：如果实心球体的质量为 M，半径为 r，则绕其直径的转动惯量为

I = 2/5 先生2

转动惯量和惯性的区别

Sr. no.InertiaMoment of Inertia
1.Its importance is in linear motion.Its importance is in rotational motion.
2.It is that property of an object which opposes the change of state of the object in linear motion.The moment of inertia is that property of an object which opposes the change of state of the object in rotational motion.
3.The inertia of an object depends only on its mass.The moment of inertia of an object depends on its mass and its mass distribution relative to the axis of rotation.
4.The inertia of an object is fixed.The moment of inertia of an object varies with respect to different axes of rotation.

转动惯量的应用

  1. 由于更大的转动惯量，地球以相同的角速度绕其轴自转。
  2. 儿童游乐电机下方放置了一个小型移动轮。这个轮子与地面摩擦离开电机后，由于轮子的转动惯量，电机保持运转一段时间。
  3. 每个发动机都由一个大而重的轮子连接到它的轴上，它的大部分质量都在它的圆周上。因此，它的转动惯量很高。这个轮子叫做飞轮。驱动发动机轴的扭矩不断增加。因此，轴的旋转可能不是均匀的，但由于存在更大惯性的动轮，轴继续以几乎均匀的速度旋转。
  4. 在牛车、人力车、踏板车、自行车等的车轮中，大部分质量集中在其圆形或轮缘上。这个箍或例程通过刚性辐条连接到车轮的轴上。通过这样做，它的转动惯量增加了。因此，当骑自行车时腿停止移动时，车轮会继续旋转一段时间。

示例问题

问题 1. 一个质量为 500 g 的物体绕轴旋转。物体的质心距旋转轴的距离为 1.2 m。求物体绕旋转轴的转动惯量。

解决方案：

问题 2. 质量为 1.2 kg 的物体的质心距中心 12 cm 的轴的公转半径为 13 cm。计算绕通过质心的轴的转动半径和转动惯量。

解决方案：

问题 3. 质量为 0.1 kg 的物体绕轴旋转。如果物体的质心距旋转轴的距离为0.5 m，则求物体的转动惯量。

解决方案：

问题 4. 环绕通过其中心且垂直于圆环平面的轴的转动惯量为 200 gm cm 2 。其直径的转动惯量是多少？

解决方案：

问题 5. 物体的转动惯量取决于什么？

解决方案：