二元矩阵中的最大正方形，多个查询最多有 K 个 1

简介

在一个二元矩阵中，求最大的正方形面积，其中矩阵中最多有 K 个元素为 1。

这是一个常见的计算机科学问题，可以用动态规划解决。使用动态规划算法，我们可以在 $O(n^2)$ 的时间内解决该问题。

动态规划

首先，定义一个二维数组 $dp$，其中 $dp(i, j)$ 表示以 $(i, j)$ 为右下角的最大正方形的边长。

如果 $matrix(i, j) = 0$，则显然 $dp(i, j) = 0$。

否则，$dp(i, j) = \min(dp(i-1, j), dp(i, j-1), dp(i-1, j-1)) + 1$。这个方程的意思是，以 $(i, j)$ 为右下角的正方形的最大边长，取决于它上面、左边和左上角的元素。如果这些元素都是 1，那么 $(i, j)$ 也可以加入到一个更大的正方形中去。

这个算法需要 $O(mn)$ 的空间，其中 $m$ 和 $n$ 分别是矩阵的行数和列数。

如果只有一个查询，我们可以遍历整个二维数组，找到最大的 $dp(i, j)$，计算最大正方形的面积。

多个查询

如果有多个查询，我们可以使用二分法。从 0 到 $m \times n$ 枚举二分的目标面积 $mid$，计算有多少个正方形的面积大于等于 $mid$。如果这个数量等于或者超过了 K，那么说明存在一个面积大于等于 $mid$ 的正方形，可以继续往大的面积进行二分。否则，说明不存在面积大于等于 $mid$ 的正方形，只能往小的面积进行二分。

由于有多个查询，我们可以预先计算出二维数组 $dp$，避免在每个查询中都重新计算。

代码实现

下面是 Python 代码的实现，其中 $dp$ 表示计算出来的二维数组，$rows$ 表示矩阵的行数，$cols$ 表示矩阵的列数，$K$ 表示最多有 K 个元素为 1。

def max_square_area(matrix, rows, cols, K):
    dp = [[0] * cols for _ in range(rows)]
    for i in range(rows):
        for j in range(cols):
            if matrix[i][j] == 1:
                if i == 0 or j == 0:
                    dp[i][j] = 1
                else:
                    dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1
    
    def check_area(mid):
        count = 0
        for i in range(rows):
            for j in range(cols):
                if dp[i][j] >= mid:
                    count += 1
        return count >= K
    
    l, r = 0, rows * cols
    ans = 0
    while l <= r:
        mid = (l + r) // 2
        if check_area(mid):
            ans = mid
            l = mid + 1
        else:
            r = mid - 1
    return ans ** 2

总结

这个算法非常高效，在实践中被广泛应用。通过此算法，我们可以解决求最大正方形面积这个问题，并支持多个查询，最多有 K 个元素为 1。