二进制矩阵中最大的平方，最多可有K 1个，可用于多个查询

在一个 $n \times m$ 的二进制矩阵中，找到以 1 为顶点的面积最大的正方形，该正方形至多含有 k 个 1 。同时，需要支持多个查询，即可以在多个矩阵中查找。

解题思路

可以使用动态规划（DP）来解决这个问题，状态转移方程如下：

dp[i][j][t] 表示从矩阵的左上角到 (i,j) 这个位置，最多含有 t 个 1 的正方形的最大边长。

dp[i][j][t] = min(dp[i-1][j][t], dp[i][j-1][t], dp[i-1][j-1][t-1]) + 1

其中，第一个状态转移方程表示该位置不是正方形的右下角，第二个状态转移方程表示该位置不是正方形的左下角，第三个状态转移方程表示该位置是正方形的右下角。由于该正方形含有 (t-1) 个 1，所以需要减去一个 1，即 dp[i-1][j-1][t-1]。

最终答案就是 dp[i][j][k] 中最大的值。

## 代码实现

```python
def max_square(matrix, k):
    n, m = len(matrix), len(matrix[0])
    dp = [[[0] * (k+1) for _ in range(m+1)] for _ in range(n+1)]
    ans = 0
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, m+1):
            if matrix[i-1][j-1] == 1:
                for t in range(1, k+1):
                    dp[i][j][t] = min(dp[i-1][j][t], dp[i][j-1][t], dp[i-1][j-1][t-1]) + 1
                    ans = max(ans, dp[i][j][t])
    return ans

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(nmK)$，其中 $n$ 是矩阵的行数，$m$ 是矩阵的列数，$K$ 是最多含有的 1 的个数。
• 空间复杂度：$O(nmk)$。