最多翻转二进制矩阵 K 次后的最高分

本题目是一道典型的贪心算法题目。给定一个二进制矩阵，矩阵中的元素只有0和1两种可能的取值。每次只能将矩阵中的某一行或某一列中的所有元素取反（即0变成1，1变成0）。现在要求翻转二进制矩阵 K 次以后，得到的全部元素之和的最大值。

解题思路

对于这种求最大值的问题，贪心算法常常能够提供高效的解决方法。具体地，我们可以按照以下方法进行贪心选择：

1. 统计矩阵每行和每列的1的数量；
2. 对于所有可能的矩阵变换，计算变换后矩阵的1的数量；
3. 按照每次变换后矩阵1的数量的大小进行排序，并选择前k个最大的变换；
4. 对于每一次变换，使用一个布尔数组记录哪些行和哪些列进行了变换，从而实现快速计算新矩阵的1的数量；
5. 计算变换操作后矩阵中1的数量总和，即为当前的最大值。

以下是对应代码实现：

class Solution:
    def maxScore(self, grid: List[List[int]], k: int) -> int:
        m, n = len(grid), len(grid[0])
        rows, cols = [0] * m, [0] * n
        for i in range(m):
            for j in range(n):
                rows[i] += grid[i][j]
                cols[j] += grid[i][j]
        score = sum(rows)
        res = score
        for h in range(k):
            max_increase, row, col = 0, -1, -1
            for i in range(m):
                for j in range(n):
                    increase = 0
                    if rows[i] + cols[j] == 2 * h:
                        increase = 1 - grid[i][j]
                    elif rows[i] + cols[j] == 2 * h + 1:
                        increase = -grid[i][j]
                    if increase > max_increase:
                        max_increase = increase
                        row, col = i, j
            if max_increase == 0:
                break
            if col == -1:
                score += 2 * (k - h - 1) * m
                break
            if row == -1:
                score += 2 * (k - h - 1) * n
                break
            score += max_increase
            rows[row] += max_increase
            cols[col] -= grid[row][col]
            cols[col] += 1 - grid[row][col]
            grid[row][col] = 1 - grid[row][col]
            res = max(res, score)
        return res

时间复杂度分析

以上算法中，最耗时的是对每个可能的变换进行计算的过程，其时间复杂度为O(m * n * k)，其中m和n分别是矩阵的行数和列数。因此，总的时间复杂度为O(m * n * k * log(m * n))，其中最后一项是排序所需时间，可以使用快排等高效排序算法实现。