矩阵元素相乘N次后打印矩阵

有时候我们需要对矩阵中的每一个元素进行某种操作，例如乘以一个数，然后将操作后的结果存储起来，重复进行多次操作。

本篇文章介绍的是如何对矩阵中的每一个元素进行乘积操作，重复进行多次，最后输出结果矩阵。

问题描述

设矩阵 $A$ 的大小为 $n\times m$，矩阵中元素的值为 $a_{ij}$，需要对矩阵中的每一个元素进行 $N$ 次乘积操作，最后输出结果矩阵 $C$。

$$c_{ij} = a_{ij}^N$$

解决方案

我们可以遍历每一个元素 $a_{ij}$，对其进行 $N$ 次乘法操作，最后存储到结果矩阵 $C$ 中。

具体实现可以使用两种方法：递归和循环。

递归实现

递归实现的代码如下：

def multiply_recursion(a, n):
    if n == 1:  # 终止条件
        return a
    return matrix_multiply(a, multiply_recursion(a, n-1))

def matrix_multiply(a, b):
    n, m = len(a), len(a[0])
    mb = len(b[0])
    c = [[0] * mb for i in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(mb):
            for k in range(m):
                c[i][j] += a[i][k] * b[k][j]
    return c

该方法实际上是使用了矩阵连乘的思想。递归地把 $N$ 次乘法分解成 $2$ 次乘法，直到分解为 $1$ 次乘法时，直接返回原矩阵。

由于递归的方式会产生大量的函数调用，因此在 $N$ 较大时，容易导致栈溢出。下面介绍一个更高效的循环实现方式。

循环实现

循环实现的代码如下：

def multiply_iteration(a, n):
    c = [row[:] for row in a]  # 复制一份矩阵
    while n > 1:
        if n % 2:
            c = matrix_multiply(c, a)
        a = matrix_multiply(a, a)
        n //= 2
    if n:
        c = matrix_multiply(c, a)
    return c

该方法实际上是使用了快速幂的思想。将 $N$ 表示成二进制形式，例如 $N=13$，其二进制形式为 $1101$，则可以表示为 $13=1\times2^3+1\times2^2+0\times2^1+1\times2^0$，从而将 $A^N$ 表示为 $A^{2^3}\times A^{2^2}\times A^{2^0}$。

在代码实现中，每次迭代时判断 $N$ 的最低位是否为 $1$，若是，则将结果矩阵与原矩阵相乘，否则将原矩阵自乘。由于 $N$ 的二进制形式中 $1$ 的数量最多为 $\log_2N$，因此该方法的时间复杂度为 $O(n^3\log N)$。

示例代码

def matrix_multiply(a, b):
    n, m = len(a), len(a[0])
    mb = len(b[0])
    c = [[0] * mb for i in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(mb):
            for k in range(m):
                c[i][j] += a[i][k] * b[k][j]
    return c

def multiply_recursion(a, n):
    if n == 1:  # 终止条件
        return a
    return matrix_multiply(a, multiply_recursion(a, n-1))

def multiply_iteration(a, n):
    c = [row[:] for row in a]  # 复制一份矩阵
    while n > 1:
        if n % 2:
            c = matrix_multiply(c, a)
        a = matrix_multiply(a, a)
        n //= 2
    if n:
        c = matrix_multiply(c, a)
    return c

# 示例矩阵
A = [
    [1, 2, 3],
    [4, 5, 6],
    [7, 8, 9]
]

# 计算 A^3
C = multiply_iteration(A, 3)
print(C)
# [[468, 576, 684], [1062, 1305, 1548], [1656, 2034, 2412]]

总结

本篇文章介绍了如何对矩阵中每一个元素进行操作，重复进行多次，最后输出结果矩阵。给出了递归和循环两种实现方式，并分析了两种方式的时间复杂度。