以0到N的二进制表示形式翻转翻转的总位数介绍

在程序设计中，我们经常需要操作二进制的数据，其中一种常见的操作是二进制位翻转。本文将介绍如何计算0到N的二进制表示形式翻转翻转的总位数。

方法

假设我们有一个整数N，我们需要计算起二进制形式中，翻转后与原来不同的位数总数。

首先，我们可以用一个循环遍历从0到N的所有整数，对每个整数求其二进制形式，然后翻转后再与原来的数字进行比较，计算不同位数的总数。

以下是Python代码实现该方法：

def count_bits_flip(N):
    count = 0
    for i in range(N + 1):
        binary_i = bin(i)[2:]
        flipped_i = binary_i[::-1]
        count += sum(1 for j in range(len(binary_i)) if binary_i[j] != flipped_i[j])
    return count

这个方法的时间复杂度是O(N*log(N))，因为我们对每个数字都要求其二进制表示形式，而计算一个数字的二进制表示形式的时间是O(log(N))。因此，当N很大时，该方法会耗费很长时间。

另一种更快捷的方法是找到规律。观察以下10以内数字的二进制数：

0: 0
1: 1
2: 10
3: 11
4: 100
5: 101
6: 110
7: 111
8: 1000
9: 1001

我们可以发现一个规律：对于从0到2的k次方的所有整数，其二进制表示形式翻转翻转的总位数都是k*(2的(k-1)次方)。例如，对于0到8（k=3）的所有整数，翻转翻转的总位数是3*(2的2次方)=12。

在使用这个规律时，我们将N表示为2的k次方-1的形式，然后计算翻转翻转的总位数。如果N不是2的k次方-1的形式，我们可以将其补充到2的k次方-1的形式，然后再计算翻转翻转的总位数。

以下是Python代码实现该方法：

def count_bits_flip(N):
    count = 0
    k = 0
    while pow(2, k) - 1 <= N:
        count += k * pow(2, k - 1)
        k += 1
    count += k * (N - pow(2, k - 1) + 1)
    return count

这个方法的时间复杂度是O(log(N))，因为我们只需要找到N的二进制位数，该操作的时间为O(log(N))。因此，该方法适用于大规模数据的计算。

结论

本文介绍了两种计算0到N的二进制表示形式翻转翻转的总位数的方法。第一种方法是循环遍历所有数字，对于每个数字分别计算不同位数的总和。第二种方法是找到规律，将N表示为2的k次方-1的形式，然后计算翻转翻转的总位数。第二种方法的时间复杂度更低，适用于大规模数据的计算。