最大可分割对子集

什么是最大可分割对子集？

最大可分割对子集是指在一个由n个元素组成的集合中，找到一个最大的子集，使得该子集中的任意两个元素都可以被平分成相等的两部分，并且这些部分中的元素都属于该子集。

问题求解

对于如上所述的问题，可以使用动态规划算法求解。具体步骤如下：

1. 将所有元素按照大小排序，这样能够更快地判断元素是否能够被平分成相等的两部分。

2. 定义一个一维数组dp，其中dp[i]表示从下标1到i中能组成的最大可分割对子集的长度。

3. 对于每个元素i来说，都有两种情况：

   • 将i放入最大可分割对子集中，此时需要找到一个元素j，j<i，使得j与i能够组成一对可分割元素，以此来更新dp[i]。具体而言，可以遍历所有小于i的元素j，判断是否满足i-j的结果可以被平分成相等的两部分，如果满足则dp[i]等于dp[j]+1和自身中的较大值。其中dp[j]+1表示将当前元素i添加到dp[j]的基础上，长度再增加1。最后，所有能够被平分成相等的两部分的元素都已考虑完毕，dp[i]的值也就求得了。

   • 不将i放入最大可分割对子集中，此时最大可分割对子集中不增加新的元素，dp[i]的值等于dp[i-1]。

4. 最后，遍历整个数组dp，找到其中最大的值即为所求的最大可分割对子集的长度。

代码实现

def max_divisible_pairs(nums):
    n = len(nums)
    nums = sorted(nums)
    dp = [1] * n
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if (nums[i] - nums[j]) % 2 == 0 and (nums[i] + nums[j]) // 2 in nums[:i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)

# 示例
print(max_divisible_pairs([1, 4, 3, 8, 7, 6])) # 输出3，最大可分割对子集为(1, 3), (4, 8), (6, 6)

时间复杂度

代码中使用了嵌套的for循环，时间复杂度为O(n^2)，但由于使用了排序，实际时间复杂度为O(nlogn)。