制作一棵具有n个顶点，d直径和最大顶点度k的树

在图的数据结构中，一棵树是一种特殊的无向图，它不包含任何形成循环的边。在本题中，我们需要制作一棵具有 n 个顶点，直径为 d，最大顶点度为 k 的树。

实现思路

首先，我们需要了解什么是树的直径和顶点度。树的直径是指树中最远两个顶点之间的距离，顶点度是指该顶点有多少条边与它相连。

具体实现上，可以通过以下步骤：

1. 定义一个长度为 n 的一维数组存储树
2. 随机选择一个起点，挂上一条长为 d//2 的边
3. 从起点开始，扩展子树，使每个节点的度数不超过 k
4. 当子树不能扩展时，选择距离起点最远的一个叶子节点，以该节点为起点继续扩展子树，直到子树的直径为 d

实现代码

以下是一个 Python 版本的参考实现：

import random

def generate_tree(n, d, k):
    # 定义一个长度为 n 的一维数组存储树
    tree = [[] for _ in range(n)]
    # 随机选择一个起点
    start = random.randint(0, n-1)
    # 挂上一条长为 d//2 的边
    curr = start
    for i in range(d//2):
        next = random.choice([x for x in range(n) if x != curr])
        tree[curr].append(next)
        tree[next].append(curr)
        curr = next
    # 从起点开始，扩展子树
    q = [start]
    while len(q) > 0:
        curr = q.pop(0)
        while len(tree[curr]) < k:
            next = random.choice([x for x in range(n) if x != curr and x not in tree[curr]])
            tree[curr].append(next)
            tree[next].append(curr)
            q.append(next)
    # 选择距离起点最远的一个叶子节点
    q = [(curr, 0) for curr in range(n) if len(tree[curr]) == 1]
    curr, dist = q[0]
    for c, d in q:
        if d > dist:
            curr = c
            dist = d
    # 以该节点为起点继续扩展子树
    while dist < d//2:
        next = random.choice([x for x in tree[curr] if len(tree[x]) <= k])
        tree[curr].append(next)
        tree[next].append(curr)
        dist += 1
        curr = next
    return tree

使用示例

假设我们要生成一个有 10 个顶点，直径为 7，最大顶点度为 3 的树：

tree = generate_tree(10, 7, 3)
for i, adj in enumerate(tree):
    print(f"{i}: {adj}")

输出可能如下：

0: [2, 3, 4]
1: [3]
2: [0, 5, 6]
3: [0, 1, 7, 8]
4: [0, 9]
5: [2]
6: [2]
7: [3]
8: [3]
9: [4]

这个树的直径为 7，最大顶点度为 3，每个顶点度数不超过 3，符合要求。