包含顶点 V 的路径中黑白顶点计数的最大差异

介绍

这是一个算法问题，给定一张无向图 G，以及一个顶点 V，求包含顶点 V 的路径中黑白顶点计数的最大差异。

具体来说，对于每个包含顶点 V 的路径 P，我们希望找到一种黑白染色方案，使得路径 P 上的黑顶点数量减去白顶点数量的差别最大。

解法

这是一个比较经典的算法问题，可以使用树型 DP 或网络流来解决。

树型 DP

对于树型 DP，我们假设当前正在考虑的顶点为 u，父节点为 v。我们定义 f(u, 0) 表示以 u 为根节点的子树中，以 u 为路径起点的路径中黑顶点数量减去白顶点数量的最大值，且 u 为黑色顶点；f(u, 1) 表示以 u 为根节点的子树中，以 u 为路径起点的路径中黑顶点数量减去白顶点数量的最大值，且 u 为白色顶点。

对于 u 的每一个儿子节点 w，我们可以递归求解 f(w,0) 和 f(w,1)。最终，我们可以将子节点 w 的结果合并到父节点 u 上，即：

$$ f(u,0)=\max{f(w,0)+\text{1 if }w\text{ is black else 0}}-\max{f(w,1)+\text{1 if }w\text{ is white else 0}}\ f(u,1)=\max{f(w,1)+\text{1 if }w\text{ is black else 0}}-\max{f(w,0)+\text{1 if }w\text{ is white else 0}} $$

其中，w 的颜色可以通过树上 DP 的方式进行计算，即以 u 为根节点的子树中的黑色节点数量是否等于 u 子树大小的一半或者白色节点数量是否等于 u 子树大小的一半来确定。

由于我们的算法是基于树型 DP 的，因此需要对图进行预处理，将其转化为一颗以 V 为根的树形结构。

算法的时间复杂度为 O(n)，其中 n 表示图的顶点数量。

网络流

另外一种解法是使用网络流。我们可以将问题转化为一个最大权闭合子图问题。具体来说，我们在原图的基础上添加一个虚拟源点 S 和虚拟汇点 T。对于每一个点 v，我们向 S 连一条容量为 1，费用为 $f(v,0)-f(v,1)$ 的边。对于每一条边 (u, v)，我们向 v 连一条容量为 1，费用为 0 的边。对于每一个点 v，我们从 v 向 T 连一条容量为 1，费用为 $f(v,1)-f(v,0)$ 的边。

最后，我们对这个网络流问题进行求解，得到的最大权闭合子图的权值即为答案。

算法的时间复杂度为 O(n^2)。

总结

两种解法各有优劣，应该根据实际情况进行选择。如果是针对一颗固定的树形结构进行计算，那么使用树型 DP 的方法会更加高效。如果是针对一般的图进行计算，那么使用网络流的方法会更加灵活，能够处理更加复杂的情况。