给定集合的XOR查询

问题描述

给定一个整数集合和一组查询，每个查询是两个整数 $L$ 和 $R$，需要回答集合中 $[L, R]$ 范围内所有数的异或的结果。

例如，如果集合为 {4, 1, 3, 7, 9, 6}，查询为 (2, 5)，则需要计算 $1 \oplus 3 \oplus 7 \oplus 9 = 14$。

解决方法

暴力枚举

一种朴素的解决方法是对于每个查询，都遍历所有数字并计算它们的异或值。在这种情况下，每个查询需要 O(N) 的时间复杂度，其中 N 是集合中的元素数。

这使得暴力枚举方法完全不适合大型集合和大量查询的情况。

前缀异或

需要一种更高效的算法来解决这个问题。一种可行的方法是使用前缀异或技术。

前缀异或是指对于每个位置 $i$，计算从集合的第一个元素开始，到位置 $i$ 的元素的异或和。因此，如果集合为 {4, 1, 3, 7, 9, 6}，则其前缀异或为 {4, 5, 6, 1, 8, 14}。

为了计算给定查询的异或值，可以从集合的第一个位置开始，使用前缀异或计算出每个位置的异或和，并计算出查询的左右边界的异或和。然后，通过计算这两个值的异或和得到查询的结果。

例如，对于查询 (2, 5)，需要计算前缀异或 p[5]，p[1]，还有 p[2 - 1] 和 p[5] 的异或和。

也就是说，查询的计算公式为：$p[R] \oplus p[L-1]$。

代码示例

以下是使用前缀异或实现的 Python 代码片段：

def xor_queries(arr, queries):
    n = len(arr)
    prefix_xor = [arr[0]]
    for i in range(1, n):
        prefix_xor.append(prefix_xor[i-1] ^ arr[i])
    result = []
    for query in queries:
        l, r = query
        if l == 0:
            result.append(prefix_xor[r])
        else:
            result.append(prefix_xor[r] ^ prefix_xor[l-1])
    return result

代码中的 xor_queries 函数需要接收一个整数集合 arr 和一组查询 queries。它首先计算集合的前缀异或和，然后使用前缀异或和计算每个查询的结果，并将结果存储在 result 列表中返回。

总结

给定集合的 XOR 查询问题可以通过前缀异或技术有效地解决。使用前缀异或，可以通过 O(N) 的时间复杂度计算集合的前缀异或和，并使用前缀异或将查询的计算时间降低到 O(1)。