找到一个集合的所有子集的XOR

问题描述

给定一个集合，求它的所有子集的异或和。

例如，对于集合 [1,2,3]，它的所有子集及相应的异或和为：

[], 0
[1], 1
[2], 2
[3], 3
[1,2], 3
[1,3], 2
[2,3], 1
[1,2,3], 0

现在的问题是，如何高效地求出一个集合的所有子集的异或和。

解决方案

对于一个长度为 $n$ 的集合，共有 $2^n$ 个子集。可以枚举这 $2^n$ 个子集来求解它们的异或和，时间复杂度 $O(n2^n)$，但很明显这种方法是不可取的。

另一种思路是，可以考虑位运算。对于一个集合中的元素，我们可以将它们看作二进制数的位，对应位置上为 1 表示该元素被选择，为 0 表示该元素未被选择。例如，对于集合 [1,2,3]，可以将它们看作三个二进制数 001, 010, 100，分别表示子集 [3], [2], [1]。

对于每个元素，它可以被选择或不选择，即对应二进制位为 1 或 0。因此，对于长度为 $n$ 的集合，共有 $2^n$ 个子集，对应着从 $0$ 到 $2^n-1$ 的 $n$ 位二进制数。例如，对于集合 [1,2,3]，它的所有子集及相应的二进制数如下：

[],         000
[1],        001
[2],        010
[3],        100
[1,2],      011
[1,3],      101
[2,3],      110
[1,2,3],    111

对于每个二进制数，可以通过异或运算来求出它对应的子集的异或和。例如：

• 对于二进制数 001，它对应的子集为 [1]，相应的异或和为 1。
• 对于二进制数 101，它对应的子集为 [1,3]，相应的异或和为 2。
• 对于二进制数 111，它对应的子集为 [1,2,3]，相应的异或和为 0。

因此，可以通过遍历从 $0$ 到 $2^n-1$ 的二进制数并计算它们的异或和，来求解一个集合的所有子集的异或和。时间复杂度为 $O(n2^n)$，实现起来也比较简单。

在 Python 中，可以使用以下代码实现：

from typing import List

def subset_xor(nums: List[int]) -> List[int]:
    n = len(nums)
    res = [0] * (1 << n)
    for i in range(1 << n):
        for j in range(n):
            if i & (1 << j):
                res[i] ^= nums[j]
    return res

其中，nums 表示待求解的集合，返回值为长度为 $2^n$ 的列表，表示该集合的所有子集的异或和。

总结

这篇文章介绍了如何高效地求解一个集合的所有子集的异或和。通过将集合中的元素转化为二进制数的位，并用异或运算计算二进制数对应的子集的异或和，可以简单地实现该算法。该算法的时间复杂度为 $O(n2^n)$，对于数量级较小的集合可行。