通过重新排列给定数字的最小数字

给定一组数字，如何重新排列这些数字，使得它们组成的最小数字是多少？

例如，给定数字序列为{1, 22, 3, 5, 9}，最小数字为 122359。

解法

一种直观的思路是从高位到低位按字典序排序，然后拼接起来形成最小数字。

为了方便对数字进行比较，我们可以将数字转换成字符串。对于两个字符串 s1 和 s2，如果按 s1 + s2 和 s2 + s1 的顺序拼接得到的数字是相同的，那么可以视为相等。

根据这个思路，我们可以使用快速排序等排序算法进行排序，然后按顺序拼接得到最小数字。快速排序的时间复杂度为 $O(n \log n)$，空间复杂度为 $O(\log n)$。

代码如下：

def min_number(numbers):
    if not numbers:
        return ''
    def compare(x, y):
        if x + y < y + x:
            return -1
        elif x + y > y + x:
            return 1
        else:
            return 0
    str_numbers = [str(num) for num in numbers]
    sorted_numbers = sorted(str_numbers, cmp=compare)
    return ''.join(sorted_numbers)

由于在 Python 3 中，cmp 参数已经被取消，因此可以使用 key 参数来代替。代码如下：

def min_number(numbers):
    if not numbers:
        return ''
    def compare(x):
        return x + str(max(numbers)) * (len(str(max(numbers))) - len(x))
    str_numbers = [str(num) for num in numbers]
    sorted_numbers = sorted(str_numbers, key=compare)
    return ''.join(sorted_numbers)

测试

为了验证解法的正确性，我们可以编写一些测试用例。

assert min_number([1, 22, 3, 5, 9]) == '122359'
assert min_number([8, 6, 7, 5, 3, 0, 9]) == '00536789'
assert min_number([12, 121]) == '12112'
assert min_number([12, 121, 0]) == '012121'
assert min_number([0, 0, 0]) == '0'
assert min_number([]) == ''

时间复杂度

快速排序的时间复杂度为 $O(n \log n)$，字符串比较的时间复杂度为 $O(k)$，其中 $k$ 是字符串的长度。因此，整个算法的时间复杂度为 $O(n k \log n)$。由于 $k$ 取决于数字的位数，因此 $k$ 可以视为常数。最坏情况下，$k$ 等于输入中最大数字的位数，因此算法的时间复杂度为 $O(n \log n)$。空间复杂度为 $O(n)$。