检查数组元素可重新排列使等式成立

问题描述

给定一个数组arr，一个整数K和一个整数N。检查是否存在一种排列，使得对于范围[0,N-1]中的每个i值，(arr[i]+i*K)%N等于i。

解题思路

数组求解

对于一个数组arr和一个整数K，对于范围[0,N-1]中的每个i，等式(arr[i]+iK)%N=i至少需要满足一个条件：arr[i]%N=iK%N。所以，我们可以计算出该条件下数组中每个元素的出现次数，并检查它们是否相同。

def can_rearrange_array(arr, K, N):
    counts = [0] * N
    for i in range(N):
        counts[arr[i] % N] += 1
    for i in range(N):
        if counts[i] != counts[(i*K)%N]:
            return False
    return True

数学求解

让我们从简单的情况开始考虑。当K = 1时，等式可以被改写为arr[i] = i(N-1)。因此，如果arr已经包含所有整数i(N-1)，则等式必定成立。

如果K!=1，我们可以将arr中的元素分组并在不改变等式的情况下重新排列。我们把arr[i]简写为x[i]。然后可以将等式改写为(x[i] + iK) = iN + j(i)。通过对equation进行变换，我们得到

$$ \frac{x[i]+i*K}{N} = i + \frac{j[i]}{N} $$

因此，所有的x[i]+i*K都必须是N的倍数。

def can_rearrange_array(arr, K, N):
    gcd = math.gcd(K, N)
    counts = collections.Counter([x % gcd for x in arr])
    for i in range(gcd):
        j = i
        while j < N and counts[i] == counts[j % gcd]:
            j += gcd
        if j >= N:
            return True
    return False

示例

arr1 = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
K1 = 3
N1 = 8

arr2 = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
K2 = 4
N2 = 8

arr3 = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]
K3 = 1
N3 = 8

print(can_rearrange_array(arr1, K1, N1)) # True
print(can_rearrange_array(arr2, K2, N2)) # False
print(can_rearrange_array(arr3, K3, N3)) # True

输出：

True
False
True

复杂度分析

• 时间复杂度：O(N) 或 O(gcd(K, N))
• 空间复杂度：O(N) 或 O(gcd(K, N))