最大乘积子数组的长度

介绍

在一个数组中，找到连续的子数组，使得子数组中的元素乘积最大。并返回该子数组的长度。

例如，对于数组 [-2, 0, -1, 2, 3], 最大乘积子数组为 [2, 3]，其长度为 2，乘积为 6。

解法

思路

• 最直观的思路就是枚举所有子数组，即用两层循环遍历数组，将所有子数组找出来并计算它们的乘积，求出最大乘积即可。
• 上述方法的时间复杂度为 $O(n^2)$，并不是最优解。可以用动态规划（DP）来解决。

状态定义

用两个状态表示子区间 $[i,j]$，分别为 $f_{i, j}^{max}$ 和 $f_{i, j}^{min}$，表示在 $[i,j]$ 区间内的最大乘积和最小乘积。

状态转移方程

状态转移方程如下：

$$f_{i,j}^{max}=\begin{cases}a_i, & i = j \ \max(f_{i+1,j}^{max}\times a_i, f_{i+1,j}^{min}\times a_i, a_i), & i < j\end{cases}$$

$$f_{i,j}^{min}=\begin{cases}a_i, & i = j \ \min(f_{i+1,j}^{max}\times a_i, f_{i+1,j}^{min}\times a_i, a_i), & i < j\end{cases}$$

其中 $a_i$ 表示数组中下标为 $i$ 的元素。

注意：因为乘积有负负得正的性质，所以需要同时记录最大乘积和最小乘积。在遍历过程中，如果当前值为负数，则交换最大乘积和最小乘积。

初始状态

需要对 $f_{i,j}^{max}$ 和 $f_{i,j}^{min}$ 进行初值赋值。对于任意 $i$，$f_{i,i}^{max}=f_{i,i}^{min}=a_i$。

返回结果

返回所有 $f_{i,j}^{max}$ 中的最大值，即可得到最大乘积子数组的长度。

代码片段

def maxProduct(nums) -> int:
    n = len(nums)
    dp = [[0] * n for _ in range(2)]
    res = nums[0]
    dp[0][0], dp[1][0] = nums[0], nums[0]
    for i in range(1, n):
        x, y = i % 2, (i - 1) % 2
        dp[0][i] = max(nums[i], dp[0][i-1] * nums[i], dp[1][i-1] * nums[i])
        dp[1][i] = min(nums[i], dp[0][i-1] * nums[i], dp[1][i-1] * nums[i])
        res = max(res, dp[0][i])
    return res

上面的代码中，使用滚动数组来优化空间复杂度。同时使用 $x$ 和 $y$ 表示缓存数组的下标。