数据结构 | 堆叠问题5

简介

堆叠问题5是一个经典的数据结构问题，也常被称为N皇后问题。问题的核心是在给定的棋盘上放置N个皇后，要求每行、每列以及每个对角线都只有一个皇后。这是一个很有挑战性的问题，因为对于每一个皇后的选择，都会影响到下一个皇后的位置。

解决方法

回溯算法

回溯算法是求解N皇后问题的一种经典算法。回溯算法的核心思想是试图在所有可能的解中找到符合要求的解。在N皇后问题中，我们可以通过从第一行开始，逐个尝试每一列来放置皇后来实现回溯算法。如果在某一行无法找到符合要求的位置来放置皇后，我们回退到上一行并重新尝试其它列，直到找到符合要求的解。

def backtrack(n: int, board: List[List[str]], row: int, col: int,
              diagonals: List[int], anti_diagonals: List[int]) -> int:

    # 如果已经到达最后一行，说明找到了有效的解
    if row == n:
        return 1

    # 统计答案的变量
    count = 0

    # 在当前行的所有列中尝试放置皇后
    for i in range(n):
        if col[i] or diagonals[row-i] or anti_diagonals[row+i]:
            # 如果有冲突，跳过该列
            continue

        # 更新变量
        col[i] = True
        diagonals[row-i] = True
        anti_diagonals[row+i] = True
        board[row][i] = 'Q'

        # 继续向下查找
        count += backtrack(n, board, row + 1, col, diagonals, anti_diagonals)

        # 回溯
        col[i] = False
        diagonals[row-i] = False
        anti_diagonals[row+i] = False
        board[row][i] = '.'

    # 返回答案
    return count


def solveNQueens(n: int) -> int:

    # 初始化变量
    board = [['.' for i in range(n)] for j in range(n)]
    col, diagonals, anti_diagonals = [False] * n, [False] * (2 * n - 1), [False] * (2 * n - 1)

    # 使用回溯算法解决问题
    return backtrack(n, board, 0, col, diagonals, anti_diagonals)

位运算

位运算是N皇后问题中进行优化的一个关键点。在传统回溯算法中，我们需要使用三个数组来记录每列、每正反对角线的状态，以保证不出现冲突。这些数组的长度都是n。然而，我们可以使用位运算来代替这些数组，使得占用的空间更小。

在位运算优化中，我们需要使用三个变量来记录当前列、正对角线和反对角线的状态。这些变量都是用一个二进制数来表示，其中第i位表示第i列、正对角线或反对角线是否被占用。通过位运算中的与、或和异或等运算符，我们可以方便地更新和查询这些变量。

def solveNQueens(n: int) -> int:

    def dfs(row: int, col: int, diag: int, anti_diag: int) -> int:
        if row == n:
            return 1

        cnt = 0

        # 枚举这一行的每一列
        # 在该列放置皇后后进一步搜索
        for i in range(n):
            cur_col, cur_diag, cur_anti_diag = 1 << i, 1 << (row + i), 1 << (n - i - 1 + row)

            if not (cur_col & col) and not (cur_diag & diag) and not (cur_anti_diag & anti_diag):
                cnt += dfs(row + 1, cur_col | col, cur_diag | diag, cur_anti_diag | anti_diag)

        return cnt

    return dfs(0, 0, 0, 0)

总结

N皇后问题是一个很好的练习算法和数据结构的问题。我们可以使用回溯算法、位运算、加强剪枝等方法来尝试优化算法的效率。在面试中，求解N皇后问题的能力也往往被视为对程序员思维和编程能力的一个重要考察。