令S为$ \ mathbb {R} ^ n $中的凸集。如果$ x = \ lambda x_1 + \ left(1- \ lambda \ right)x_2 $与$ x_1，x_2 \ in S $和$ \ lambda \，则将向量$ x \ in S $称为S的极点。 in \ left(0，1 \ right)\ Rightarrow x = x_1 = x_2 $。

例

步骤1- $ S = \ left \ {\ left(x_1，x_2 \ right)\ in \ mathbb {R} ^ 2：x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \ leq 1 \正确的\} $

极点$ E = \ left \ {\ left(x_1，x_2 \ right)\ in \ mathbb {R} ^ 2：x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 1 \ right \} $

步骤2- $ S = \ left \ {\ left(x_1，x_2 \ right)\ in \ mathbb {R} ^ 2：x_1 + x_2 <2，-x_1 + 2x_2 \ leq 2，x_1，x_2 \ geq 0 \正确的\} $

极点$ E = \ left \ {\ left(0，0 \ right)，\ left(2，0 \ right)，\ left(0，1 \ right)，\ left(\ frac {2} {3 }，\ frac {4} {3} \ right)\ right \} $

步骤3 -S是由点$ \ left \ {\ left(0,0 \ right)，\ left(1,1 \ right)，\ left(1,3 \ right)，\ left(- 2,4 \ right)，\ left(0,2 \ right)\ right \} $

极点$ E = \ left \ {\ left(0,0 \ right)，\ left(1,1 \ right)，\ left(1,3 \ right)，\ left(-2,4 \ right) \ right \} $

备注

• 凸集S的任何点都可以表示为其极端点的凸组合。

• 仅适用于$ \ mathbb {R} ^ n $中的封闭集和有界集。

• 对于无界集合可能不是正确的。

k个极端点

当且仅当凸集中的点是S内的k维凸集的内点，而不是S内(k + 1)维凸集的内点时，才称为k极点。基本上，对于凸集S，k个极点构成k维张开面。