令S为$ \ mathbb {R} ^ n $中的一个封闭凸集。如果对于每个$ x \ in S，x + \ lambda d \ in S，\ forall \ lambda \ geq 0. $，非零向量$ d \ in \ mathbb {R} ^ n $被称为S的方向。

• 如果$ d \ neq \ alpha d_2 $对于$ \ alpha> 0 $，则将S的两个方向$ d_1 $和$ d_2 $称为不同。

• 如果无法将$ S $的方向$ d $写成两个不同方向的正线性组合，即$ d = \ lambda _1d_1 + \ lambda _2d_2 $表示$ \ lambda _1，\，则将其称为极端方向。 lambda _2> 0 $，然后$ d_1 = \ alpha d_2 $ for $ \ alpha $。

• 任何其他方向都可以表示为极端方向的正组合。

• 对于凸集$ S $，方向d使得$ x + \ lambda d \ in S $中的一些$ x \ in S $和所有$ \ lambda \ geq0 $被称为$ S $的隐性。

• 令E为其中$ \ mathbb {R} ^ n $中非空凸集S上某个函数$ f：S \ rightarrow $达到最大值的点集，则$ E $被称为的露面。 $ S $。暴露面的方向称为暴露方向。

• 方向为极端方向的射线称为极端射线。

例

考虑函数$ f \ left(x \ right)= y = \ left | x \ right | $，其中$ x \ in \ mathbb {R} ^ n $。设d为$ \ mathbb {R} ^ n $中的单位向量

然后，d是函数f的方向，因为对于任何$ \ lambda \ geq 0，x + \ lambda d \ in f \ left(x \ right)$。