令$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} $其中$ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $是一个非空凸集。如果对于S $中的每个$ x_1，x_2 \ s，我们有$ f \ left(\ lambda x_1 + \ left(1- \ lambda \ right)x_2 \ right)\ leq max \ left \，则函数f被认为是拟凸的{f \ left(x_1 \ right)，f \ left(x_2 \ right)\ right \}，\ lambda \ in \ left(0，1 \ right)$

例如，$ f \ left(x \ right)= x ^ {3} $

令$ f：S \ rightarrow R $其中$ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $是一个非空凸集。如果对于S $中的每个$ x_1，x_2 \，我们有$ f \ left(\ lambda x_1 + \ left(1- \ lambda \ right)x_2 \ right)\ geq min \ left \，则函数f被认为是拟凸的{f \ left(x_1 \ right)，f \ left(x_2 \ right)\ right \}，\ lambda \ in \ left(0，1 \ right)$

备注

• 每个凸函数都是拟凸的，但反之则不成立。
• 这既是拟凸和拟凹的函数称为拟单调。

定理

令$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} $和S是$ \ mathbb {R} ^ n $中的一个非空凸集。当且仅当$ S _ {\ alpha} = \ left(x \ in S：f \ left(x \ right)\ leq \ alpha \ right \} $对于每个实数\ alpha $都是凸的时，函数f是拟凸的

证明

令f是S上的拟凸。

令$ x_1，x_2 \ in S _ {\ alpha} $因此$ x_1，x_2 \ in S $和$ max \ left \ {f \ left(x_1 \ right)，f \ left(x_2 \ right)\ right \} \ leq \ alpha $

设$ \ lambda \ in \ left(0，1 \ right)$并令$ x = \ lambda x_1 + \ left(1- \ lambda \ right)x_2 \ leq max \ left \ {f \ left(x_1 \ right) ，f \ left(x_2 \ right)\ right \} \ Rightarrow x \ in S $

因此，$ f \ left(\ lambda x_1 + \ left(1- \ lambda \ right)x_2 \ right)\ leq max \ left \ {f \ left(x_1 \ right)，f \ left(x_2 \ right)\ right \} \ leq \ alpha $

因此，$ S _ {\ alpha} $是凸的。

交谈

令$ S _ {\ alpha} $对于每个$ \ alpha $是凸的

$ x_1，x_2 \ in S，\ lambda \ in \ left(0,1 \ right)$

$ x = \ lambda x_1 + \ left(1- \ lambda \ right)x_2 $

设$ x = \ lambda x_1 + \ left(1- \ lambda \ right)x_2 $

对于$ x_1，x_2 \ in S _ {\ alpha}，\ alpha = max \ left \ {f \ left(x_1 \ right)，f \ left(x_2 \ right)\ right \} $

$ \ Rightarrow \ lambda x_1 + \ left(1- \ lambda \ right)x_2 \ in S _ {\ alpha} $

$ \ Rightarrow f \ left(\ lambda x_1 + \ left(1- \ lambda \ right)x_2 \ right)\ leq \ alpha $

由此证明。

定理

令$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} $和S是$ \ mathbb {R} ^ n $中的一个非空凸集。函数f是拟凹当且仅当$ S _ {\阿尔法} = \左\ {X \ S中：F \左右(x \右)\ GEQ \阿尔法\右\} $为每个实数$凸\ alpha $。

定理

令$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} $和S是$ \ mathbb {R} ^ n $中的一个非空凸集。当且仅当$ S _ {\ alpha} = \ left \ {x \ in S：f \ left(x \ right)= \ alpha \ right \} $对于每个实数$ \ alpha都是凸的时，函数f是准单调的$。