假设$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $和S是$ \ mathbb {R} ^ n $中的非空凸集，则对于每个$ x_1，x_2，f都被严格认为是拟凸函数。 \ in S $中有$ f \ left(x_1 \ right)\ neq f \ left(x_2 \ right)$，我们有$ f \ left(\ lambda x_1 + \ left(1- \ lambda \ right)x_2 \ right)

备注

• 每个严格的拟凸函数都是严格凸的。
• 严格的拟凸函数并不表示拟凸性。
• 严格拟凸函数可能不是强拟凸函数。
• 拟凸函数是严格拟凸函数。

定理

假设$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $是严格拟凸函数，而S是$ \ mathbb {R} ^ n $中的非空凸集。请考虑问题：$ min \：f \ left (x \ right)，x \ in S $。如果$ \ hat {x} $是局部最优解，则$ \ bar {x} $是全局最优解。

证明

设S $中存在$ \ bar {x} \，这样$ f \ left(\ bar {x} \ right)\ leq f \ left(\ hat {x} \ right)$

由于S $和S中的$ \ bar {x}，\ hat {x} \是凸集，因此，

$$ \ lambda \ bar {x} + \ left(1- \ lambda \ right)\ hat {x} \ in S，\ forall \ lambda \ in \ left(0,1 \ right)$$

由于$ \ hat {x} $是局部最小值，因此$ f \ left(\ hat {x} \ right)\ leq f \ left(\ lambda \ bar {x} + \ left(1- \ lambda \ right)\ hat {x} \ right)，\ forall \ lambda \ in \ left(0，\ delta \ right)$

由于f严格是拟凸的。

$$ f \ left(\ lambda \ bar {x} + \ left(1- \ lambda \ right)\ hat {x} \ right)

因此，这是矛盾的。

严格拟凹函数

假设$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $和S是$ \ mathbb {R} ^ n $中的非空凸集，那么对于每个$ x_1，f严格地被认为是拟凸函数， x_2 \ in S $与$ f \ left(x_1 \ right)\ neq f \ left(x_2 \ right)$

$$ f \ left(\ lambda x_1 + \ left(1- \ lambda \ right)x_2 \ right)> min \ left \ {f \ left(x_1 \ right)，f \ left(x_2 \ right)\ right \} $$。

例子

• $ f \ left(x \ right)= x ^ 2-2 $

  这是严格的拟凸函数，因为如果我们在域中取满足定义$ f \ left(\ lambda x_1 + \ left(1- \ lambda \ right)x_2 \ right)约束的任意两点$ x_1，x_2 $

• $ f \ left(x \ right)=-x ^ 2 $

  它不是严格的拟凸函数，因为如果我们取$ x_1 = 1 $和$ x_2 = -1 $和$ \ lambda = 0.5 $，则$ f \ left(x_1 \ right)=-1 = f \ left( x_2 \ right)$但是$ f \ left(\ lambda x_1 + \ left(1- \ lambda \ right)x_2 \ right)= 0 $因此，它不满足定义中所述的条件。但这是一个拟凹函数，因为如果我们在域中取满足定义$ f \ left(\ lambda x_1 + \ left(1- \ lambda \ right)x_2 \ right)> min \ left \ {f \ left(x_1 \ right)，f \ left(x_2 \ right)\ right \} $。随着函数在负x轴上增加而在正x轴上减少。