强拟凸函数

强拟凸函数（strongly quasiconvex function）是一类比凸函数更为广泛的函数。定义如下：

对于定义域上的实值函数 $f(x)$，若对于任意 $x, y \in D$，都有 $f(tx + (1-t)y) \leq \max{f(x), f(y)}$ 成立，则称 $f(x)$ 是强拟凸函数。

强拟凸函数具有以下性质：

• 强拟凸函数是凸函数，但凸函数不一定是强拟凸函数。
• 对于连续可导函数，强拟凸函数等价于每个局部极小值点的 Hessian 矩阵为半正定矩阵。

在优化中的应用

强拟凸函数在优化领域中有着广泛的应用，例如：

• 在优化约束问题中，强拟凸函数可以表示非线性约束。
• 在凸优化问题中，可以使用强拟凸函数来构造目标函数，以便使用凸优化算法求解。

下面是一个使用强拟凸函数求解约束问题的例子：

假设我们需要求解如下的非线性约束问题：

$$ \begin{aligned} \text{minimize} \quad &f(x) \ \text{subject to} \quad &h(x) \leq 0\ \end{aligned} $$

其中 $f(x)$ 和 $h(x)$ 均为强拟凸函数。我们可以使用逐步优化算法（Successive Convex Approximation, SCA）求解上述问题。

SCA 算法的基本思想是将原问题转化为一系列的凸优化问题。假设我们将约束函数按 $h_1(x), h_2(x), \cdots,h_m(x)$ 的顺序依次考虑，那么对于第 $i$ 个约束 $h_i(x)\leq0$，我们可以构造如下的优化问题：

$$ \begin{aligned} \text{minimize} \quad &f(x) + \lambda_i h_i(x) \ \text{subject to} \quad &x \in D_i \ \end{aligned} $$

其中 $D_i$ 是第 $i$ 个约束的可行域，$\lambda_i$ 是第 $i$ 个约束的拉格朗日乘子。

由于 $f(x)$ 和 $h_i(x)$ 均为强拟凸函数，所以其和也是强拟凸函数。因此可以使用凸优化算法求解上述问题。

得到第 $i$ 个约束的最优解后，我们将其分别代入 $h_{i+1}(x), h_{i+2}(x), \cdots,h_m(x)$ 中，再重复上述过程。

最终，我们可以得到一个可行解，其中 $f(x)$ 的值是最小的。

结语

强拟凸函数是一类非常有用的函数类型，涉及到优化、最优化等领域。对于算法设计和优化问题求解，应该深入理解该函数类型的性质和特点。