在本章中，让我们讨论二阶系统的时间响应。考虑以下闭环控制系统框图。在此，开环传递函数$ \ frac {\ omega ^ 2_n} {s(s + 2 \ delta \ omega_n)} $与统一的负反馈连接。

我们知道闭环控制系统的传递函数具有统一的负反馈

$$ \ frac {C(s)} {R(s)} = \ frac {G(s)} {1 + G(s)} $$

用上面的方程式替换$ G(s)= \ frac {\ omega ^ 2_n} {s(s + 2 \ delta \ omega_n)} $。

$$ \ frac {C(s)} {R(s)} = \ frac {\ left(\ frac {\ omega ^ 2_n} {s(s + 2 \ delta \ omega_n)} \ right}} {1+ \ left(\ frac {\ omega ^ 2_n} {s(s + 2 \ delta \ omega_n)} \ right)} = \ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega _ns + \ omega _n ^ 2} $$

分母项中s的幂为2。因此，上述传递函数是二阶的，并且该系统被称为二阶系统。

特征方程为-

$$ s ^ 2 + 2 \ delta \ omega _ns + \ omega _n ^ 2 = 0 $$

特征方程的根是-

$$ s = \ frac {-2 \ omega \ delta _n \ pm \ sqrt {(2 \ delta \ omega _n)^ 2-4 \ omega _n ^ 2}} {2} = \ frac {-2(\ delta \ omega _n \ pm \ omega _n \ sqrt {\ delta ^ 2-1})} {2} $$

$$ \ Rightarrow s =-\ delta \ omega_n \ pm \ omega _n \ sqrt {\ delta ^ 2-1} $$

• 当δ= 0时，两个根都是虚数。
• 当δ= 1时，两个根是实数且相等。
• 当δ> 1时，两个根是实数，但不相等。
• 当0 <δ<1时，这两个根是复共轭的。

我们可以将$ C(s)$方程写为

$$ C(s)= \ left(\ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ right)R(s)$$

哪里，

• C(s)是输出信号c(t)的拉普拉斯变换

• R(s)是输入信号r(t)的拉普拉斯变换

• _ωn是自然频率

• δ是阻尼比。

请按照以下步骤在时域中获取二阶系统的响应(输出)。

• 对输入信号$ r(t)$进行拉普拉斯变换。

• 考虑方程$ C(s)= \ left(\ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ right)R(s)$

• 用上式替换$ R(s)$值。

• 如果需要，请对$ C(s)$进行分数运算。

• 将逆Laplace变换应用于$ C(s)$。

二阶系统的阶跃响应

将单位步进信号视为二阶系统的输入。

单位阶跃信号的拉普拉斯变换是

$$ R(s)= \ frac {1} {s} $$

我们知道二阶闭环控制系统的传递函数是

$$ \ frac {C(s)} {R(s)} = \ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$

情况1：δ= 0

用传递函数$ \ delta = 0 $代替。

$$ \ frac {C(s)} {R(s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2} $$

$$ \ Rightarrow C(s)= \ left(\ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2} \ right)R(s)$$

用上面的公式替换$ R(s)= \ frac {1} {s} $。

$$ C(s)= \ left(\ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2} \ right)\ left(\ frac {1} {s} \ right)= \ frac {\ omega_n ^ 2} {s(s ^ 2 + \ omega_n ^ 2)} $$

在两侧应用逆Laplace变换。

$$ c(t)= \ left(1- \ cos(\ omega_n t)\ right)u(t)$$

因此，当$ / delta = 0 $时，二阶系统的单位阶跃响应将是具有恒定幅度和频率的连续时间信号。

情况2：δ= 1

用传递函数$ / delta代替1 $。

$$ \ frac {C(s)} {R(s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$

$$ \ Rightarrow C(s)= \ left(\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ omega_n)^ 2} \ right)R(s)$$

用上面的公式替换$ R(s)= \ frac {1} {s} $。

$$ C(s)= \ left(\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ omega_n)^ 2} \ right)\ left(\ frac {1} {s} \ right)= \ frac {\ omega_n ^ 2} {s(s + \ omega_n)^ 2} $$

做$ C(s)$的部分分数。

$$ C(s)= \ frac {\ omega_n ^ 2} {s(s + \ omega_n)^ 2} = \ frac {A} {s} + \ frac {B} {s + \ omega_n} + \ frac {C } {(s + \ omega_n)^ 2} $$

简化后，您将获得A，B和C的值分别为$ 1，\：-1 \：和\：− \ omega _n $。将这些值替换为$ C(s)$的上述部分分数扩展。

$$ C(s)= \ frac {1} {s}-\ frac {1} {s + \ omega_n}-\ frac {\ omega_n} {(s + \ omega_n)^ 2} $$

在两侧应用逆Laplace变换。

$$ c(t)=(1-e ^ {-\ omega_nt}-\ omega _nte ^ {-\ omega_nt})u(t)$$

因此，二阶系统的单位阶跃响应将尝试达到稳态下的阶跃输入。

情况3：0 <δ<1

我们可以修改传递函数的分母项，如下所示：

$$ s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2 = \ left \ {s ^ 2 + 2(s)(\ delta \ omega_n)+(\ delta \ omega_n)^ 2 \ right \} + \ omega_n ^ 2-(\ delta \ omega_n)^ 2 $$

$$ =(s + \ delta \ omega_n)^ 2 + \ omega_n ^ 2(1- \ delta ^ 2)$$

传递函数变为

$$ \ frac {C(s)} {R(s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n)^ 2 + \ omega_n ^ 2(1- \ delta ^ 2)} $ $

$$ \ Rightarrow C(s)= \ left(\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n)^ 2 + \ omega_n ^ 2(1- \ delta ^ 2)} \ right)R(s )$$

用上面的公式替换$ R(s)= \ frac {1} {s} $。

$$ C(s)= \ left(\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n)^ 2 + \ omega_n ^ 2(1- \ delta ^ 2)} \ right)\ left(\ frac {1} {s} \ right} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s \ left((s + \ delta \ omega_n)^ 2 + \ omega_n ^ 2(1- \ delta ^ 2)\ right)} $ $

做$ C(s)$的部分分数。

$$ C(s)= \ frac {\ omega_n ^ 2} {s \ left((s + \ delta \ omega_n)^ 2 + \ omega_n ^ 2(1- \ delta ^ 2)\ right)} = \ frac { A} {s} + \ frac {Bs + C} {(s + \ delta \ omega_n)^ 2 + \ omega_n ^ 2(1- \ delta ^ 2)} $$

简化后，您将获得A，B和C的值分别为$ 1，\：-1 -1 ::和\：− 2 \ delta \ omega _n $。将这些值替换为上述C(s)的部分分数扩展。

$$ C(s)= \ frac {1} {s}-\ frac {s + 2 \ delta \ omega_n} {(s + \ delta \ omega_n)^ 2 + \ omega_n ^ 2(1- \ delta ^ 2) } $$

$$ C(s)= \ frac {1} {s}-\ frac {s + \ delta \ omega_n} {(s + \ delta \ omega_n)^ 2 + \ omega_n ^ 2(1- \ delta ^ 2)}- \ frac {\ delta \ omega_n} {(s + \ delta \ omega_n)^ 2 + \ omega_n ^ 2(1- \ delta ^ 2)} $$

$ C(s)= \ frac {1} {s}-\ frac {(s + \ delta \ omega_n)} {(s + \ delta \ omega_n)^ 2 +(\ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} )^ 2}-\ frac {\ delta} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ left(\ frac {\ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2}} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 +(\ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2})^ 2} \ right)$

将$ \ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} $替换为上式中的$ \ omega_d $。

$$ C(s)= \ frac {1} {s}-\ frac {(s + \ delta \ omega_n)} {(s + \ delta \ omega_n)^ 2 + \ omega_d ^ 2}-\ frac {\ delta} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ left(\ frac {\ omega_d} {(s + \ delta \ omega_n)^ 2 + \ omega_d ^ 2} \ right)$$

在两侧应用逆Laplace变换。

$$ c(t)= \ left(1-e ^ {-\ delta \ omega_nt} \ cos(\ omega_dt)-\ frac {\ delta} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} e ^ {- \ delta \ omega_nt} \ sin(\ omega_dt)\ right)u(t)$$

$$ c(t)= \ left(1- \ frac {e ^ {-\ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ left((\ sqrt {1- \ delta ^ 2 })\ cos(\ omega_dt)+ \ delta \ sin(\ omega_dt)\ right)\ right)u(t)$$

如果$ \ sqrt {1- \ delta ^ 2} = \ sin(\ theta)$，则’δ’将为cos(θ)。将这些值代入上式。

$$ c(t)= \ left(1- \ frac {e ^ {-\ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}}(\ sin(\ theta)\ cos(\ omega_dt) + \ cos(\ theta)\ sin(\ omega_dt))\ right)u(t)$$

$$ \ Rightarrow c(t)= \ left(1- \ left(\ frac {e ^ {-\ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)\ sin(\ omega_dt + \ theta)\ right)u(t)$$

因此，当“δ”在零和一之间时，二阶系统的单位阶跃响应具有阻尼振荡(幅度减小)。

情况4：δ> 1

我们可以修改传递函数的分母项，如下所示：

$$ s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2 = \ left \ {s ^ 2 + 2(s)(\ delta \ omega_n)+(\ delta \ omega_n)^ 2 \ right \} + \ omega_n ^ 2-(\ delta \ omega_n)^ 2 $$

$$ = \左(s + \ delta \ omega_n \ right)^ 2- \ omega_n ^ 2 \ left(\ delta ^ 2-1 \ right)$$

传递函数变为

$$ \ frac {C(s)} {R(s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n)^ 2- \ omega_n ^ 2(\ delta ^ 2-1)} $ $

$$ \ Rightarrow C(s)= \ left(\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n)^ 2- \ omega_n ^ 2(\ delta ^ 2-1)} \ right)R(s )$$

用上面的公式替换$ R(s)= \ frac {1} {s} $。

$ C(s)= \ left(\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n)^ 2-(\ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1})^ 2} \ right)\ left (\ frac {1} {s} \ right)= \ frac {\ omega_n ^ 2} {s(s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1})(s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1})} $

做$ C(s)$的部分分数。

$$ C(s)= \ frac {\ omega_n ^ 2} {s(s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1})(s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1})} $$

$$ = \ frac {A} {s} + \ frac {B} {s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} + \ frac {C} {s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} $$

简化之后，您将获得A，B和C的值为1，$ \ frac {1} {2(\ delta + \ sqrt {\ delta ^ 2-1})(\ sqrt {\ delta ^ 2-1} )} $和$ \ frac {-1} {2(\ delta- \ sqrt {\ delta ^ 2-1})(\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} $。将这些值替换为$ C(s)$的上述部分分数扩展。

$$ C(s)= \ frac {1} {s} + \ frac {1} {2(\ delta + \ sqrt {\ delta ^ 2-1})(\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ left(\ frac {1} {s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} \ right)-\ left(\ frac {1} {2(\ delta- \ sqrt {\ delta ^ 2-1})(\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ right} \ left(\ frac {1} {s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} \ right)$$

在两侧应用逆Laplace变换。

$ c(t)= \ left(1+ \ left(\ frac {1} {2(\ delta + \ sqrt {\ delta ^ 2-1})(\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ right )e ^ {-(\ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1})t}-\ left(\ frac {1} {2(\ delta- \ sqrt {\ delta ^ 2-1} )(\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ right)e ^ {-(\ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1})t} \ right)u(t)$

由于过阻尼，当δ> 1时，二阶系统的单位阶跃响应将永远不会达到稳态下的阶跃输入。

二阶系统的脉冲响应

可以通过使用这两种方法中的任何一种来获得二阶系统的脉冲响应。

• 将$ R(s)$的值视为1而不是$ \ frac {1} {s} $时，遵循涉及的过程，以获得阶跃响应。

• 进行阶跃响应的微分。

下表显示了4种阻尼比情况下二阶系统的脉冲响应。