我们可以在时域和频域两个方面分析控制系统的响应。在后面的章节中，我们将讨论控制系统的频率响应分析。现在让我们讨论控制系统的时间响应分析。

什么是时间响应?

如果输入的控制系统的输出随时间变化，则称为控制系统的时间响应。时间响应包括两个部分。

• 瞬态响应
• 稳态响应

控制系统的时域响应如下图所示。

在此，瞬态和稳态都在图中表示。对应于这些状态的响应称为瞬态和稳态响应。

数学上，我们可以将时间响应c(t)写成

$$ c(t)= c_ {tr}(t)+ c_ {ss}(t)$$

哪里，

• c _tr (t)是瞬态响应
• c _ss (t)是稳态响应

瞬态响应

将输入应用于控制系统后，输出需要一定时间才能达到稳定状态。因此，输出将处于过渡状态，直到进入稳定状态。因此，控制系统在瞬态期间的响应称为瞬态响应。

对于较大的“ t”值，瞬态响应将为零。理想情况下，“ t”的值是无穷大，实际上，它是常数的五倍。

数学上，我们可以写成

$$ \ lim_ {t \ rightarrow \ infty} c_ {tr}(t)= 0 $$

稳态响应

对于较大的“ t”值，即使在瞬态响应具有零值之后仍保留的时间响应部分称为稳态响应。这意味着，即使在稳态下，瞬态响应也将为零。

例

让我们找到控制系统的时间响应的瞬态和稳态项$ c(t)= 10 + 5e ^ {-t} $

在这里，第二项$ 5e ^ {-t} $将为零，因为t表示无穷大。因此，这是过渡项。即使t接近无穷大，第一项10仍然存在。因此，这是稳态项。

标准测试信号

标准测试信号是脉冲，阶跃，斜坡和抛物线。这些信号用于通过输出的时间响应来了解控制系统的性能。

单位脉冲信号

单位脉冲信号δ(t)定义为

$ \ delta(t)= 0 $为$ t \ neq 0 $

和$ \ int_ {0 ^-} ^ {0 ^ +} \ delta(t)dt = 1 $

下图显示了单位脉冲信号。

因此，单位脉冲信号仅在“ t”等于零时存在。在“ t”附近小的时间间隔等于零的情况下，此信号的面积为1。对于所有其他“ t”值，单位脉冲信号的值为零。

单位步进信号

单位阶跃信号u(t)定义为

$$ u(t)= 1; t \ geq 0 $$

$ = 0; t <0 $

下图显示了单位步进信号。

因此，单位阶跃信号对于包括零在内的所有“ t”正值都存在。在此间隔内，其值为1。对于所有“ t”的负值，单位阶跃信号的值为零。

单位斜坡信号

单位斜坡信号r(t)定义为

$$ r(t)= t; t \ geq 0 $$

$ = 0; t <0 $

我们可以将单位斜坡信号$ r(t)$写成单位阶跃信号$ u(t)$为

$$ r(t)= tu(t)$$

下图显示了单位斜坡信号。

因此，单位斜坡信号存在于所有“ t”的正值，包括零。在此间隔内，其值相对于“ t”呈线性增加。对于所有“ t”的负值，单位斜坡信号的值为零。

单位抛物线信号

单位抛物线信号p(t)定义为

$$ p(t)= \ frac {t ^ 2} {2}; t \ geq 0 $$

$ = 0; t <0 $

我们可以用单位阶跃信号$ u(t)$来写单位抛物线信号$ p(t)$为，

$$ p(t)= \ frac {t ^ 2} {2} u(t)$$

下图显示了单位抛物线信号。

因此，单位抛物线信号对于包括零在内的所有“ t”正值都存在。在此间隔内，其值相对于“ t”呈非线性增加。对于所有“ t”的负值，单位抛物线信号的值为零。