二阶线性微分方程

二阶线性微分方程有两种类型：齐次方程和非齐次方程。

齐次方程：

方程的一般形式：
这些方程的形式为：
```
A(x)y" + B(x)y' + C(x)y = 0
```
其中 y’=(dy/dx) 和 A(x)、B(x) 和 C(x) 是自变量 ‘x’ 的函数。

出于本文的目的，我们将学习如何求解上述三个函数都是常数的方程。

特性：

(I)假设g(x)是齐次方程的解。我们将证明‘cg(x)’也是一个解，其中 c 是一个常数。

Ag"+Bg'+Cg = 0            (1)
Now, A(cg)" + B(cg)' + Cg 
= cAg" + cBg' + Cg
= c(Ag" + Bg' + Cg)
= c(0)    [From (1)]
= 0

因此，’cg(x)’ 也是一个解。

(II)假设h(x)和g(x)也是一个解。我们将证明’h(x)+g(x)’也是一个解。

Ag"+Bg'+Cg = 0            (1)
Ah"+Bh'+Ch = 0            (2)
Now, A(h+g)" + B(h+g)' + C(h+g)
= A(h"+g") + B(h'+g') + C(h+g)
= (Ah" + Bh' + Ch) + (Ag" + Bg' + Cg)
= 0 + 0               [From (1) and (2)]
= 0

(III)从 I 和 II 可以说齐次方程的通解为：

'kg(x) + ch(x)'

其中 ‘k’ 和 ‘c’ 是任意常数。

求解齐次方程：
基本步骤当然是“猜测”满足方程的函数。但在这种情况下，我已经为你做了这件事。第一步涉及假设，
接收
其中 ‘r’ 是一些实数(正如我们将看到的，也可能很复杂！)。
所以，
```
Ar2erx + Berxr + Cerx = 0
(erx)(Ar2 + Br  + C) = 0    [Taking erx common from all the terms]
Ar2 + Br + C = 0    [As erx cannot be zero]
```
基于上述等式，出现了 3 种情况：

(I)如果两个根都是实数，比如 r ₁和 r ₂ ，那么解将是
```
f(x) = c1(er1x) + c2(er2x)
```
(II)如果根是复数，那么它们必须是共轭的，因为二次方程的系数是实数。
```
Let r1 = a1 + ia2, r2 = a1 - ia2 
```
其中“i”是 iota，即“i”是 (-1) 的平方根。
所以，一般的解决方案是：
```
f(x) = c1er1x + c2er2x 
```
如果您将简化将如下所示：
```
f(x) = ea1x(k1cos(a2x) + k2sin(a2x)) 
```
[我希望你知道 e ^it = cos(t) + isin(t)，而且 k ₁和 k ₂与 c ₁和 c _{2 不同}]。
我还鼓励您找出 k ₁和 k ₂以及 c ₁和 c ₂之间的关系。

(III)如果根重复，则y = ce ^rx不是通解而只是特解。那么该怎么办?因此再次假设，
```
y = p(x)erx 
```
其中 ‘r’ 是您在上述等式中得到的根。通过解决你会得到
```
p(x)=c1x + c2 
```
因此，您的一般解决方案将如下所示，
```
y = (c1x + c2)erx 
```

这些示例将使您清楚：

示例 1：

y" + 5y' + 6y = 0

假设 y = e ^{rx 。}将其放入等式中，我们最终得到：

r2 + 5r + 6 = 0
(r+2)(r+3) = 0
r = (-2)  OR  r = (-3)

所以，

r1 = (-2) and r2 = (-3)

由于两者都是真实的，一般的解决方案是：

y = c1e(-2x) + c2e(-3x)

示例 2：

y" + y' + y = 0

再次假设 y = r ^rx并求解 ‘r’。你的“r”看起来像这样：

r1 = (-1/2) + i(-sqrt(3)/2)   
and  r2 = (-1/2) - i(-sqrt(3)/2)
So, 
a1 = (-1/2)  
and  a2 = (sqrt(3)/2)

因此，一般的解决方案将如下所示：

y = e(-x/2)(c1cos(x√(3)/2) + c2sin(x√(3)/2))

示例 3：

y" + 4y' + 4y = 0

再次假设 y = r ^rx并求解 ‘r’。 ‘特定的解决方案将是：

y = ce2x

假设y = p(x)e ^{2x 。}把它放在微分方程中会给你：

p" = 0 which implies
p'= c2 which again implies
p = c1x + c2

因此，一般的解决方案是：

y = (c1x + c2)e2x