根轨迹是s域中的图形表示，并且相对于实轴对称。因为开环极点和零点存在于s域中，其值为实数或复共轭对。在本章中，让我们讨论如何构造(绘制)根轨迹。

根源构建规则

遵循这些规则来构建根基因座。

规则1-在“ s”平面中找到开环极点和零点。

规则2-找出根轨迹分支的数量。

我们知道根轨迹分支始于开环极点，终止于开环零点。因此，根轨迹分支的数量N等于有限开环极点P的数量或有限开环零点Z的数量，以较大者为准。

在数学上，我们可以将根轨迹分支数N记为

$ N = P $如果$ P \ geq Z $

如果$ P

规则3-识别并绘制实轴根轨迹分支。

如果开环传递函数在某个点的角度是180 ⁰的奇数倍，则该点在根轨迹上。如果实轴上某个点的左侧存在奇数个开环极点和零，则该点位于根轨迹分支上。因此，满足该条件的点的分支是根轨迹分支的实轴。

规则4-找到质心和渐近线的角度。

• 如果$ P = Z $，则所有根轨迹分支都在有限的开环极点处开始，并在有限的开环零点处结束。

• 如果$ P> Z $，则$ Z $的根轨迹分支数从有限的开环极点开始，并在有限的开环极点处结束，并且$ P − Z $的根轨迹分支数从有限的开环极点开始，并在无穷远处结束开环零。

• 如果$ P

因此，当$ P \ neq Z $时，某些根轨迹分支接近无穷大。渐近线给出了这些根轨迹分支的方向。渐近线在实轴上的交点称为质心。

我们可以使用这个公式来计算质心α

$ \ alpha = \ frac {\ sum Real \：part \：of \：有限\：open \：loop \：poles \：-\ sum Real \：part \：of \：有限\：open \：loop \ ：零} {PZ} $

渐近线θ的公式为

$$ \ theta = \ frac {(2q + 1)180 ^ 0} {PZ} $$

哪里，

$$ q = 0,1,2，….，(PZ)-1 $$

规则5-用假想轴找到根轨迹分支的交点。

我们可以使用Routh数组方法和特殊情况(ii)来计算根轨迹分支与虚轴相交的点以及该点处的K值。

• 如果Routh数组的任何行的所有元素均为零，则根轨迹分支与虚轴相交，反之亦然。

• 以这样的方式标识行，如果我们将第一个元素设为零，则整个行的元素为零。找到该组合的K值。

• 将此K值代入辅助方程式。您将获得根轨迹分支与假想轴的交点。

规则6-查找突破点和闯入点。

• 如果在两个开环极之间存在实轴根轨迹分支，则在这两个开环极之间将存在一个分离点。

• 如果在两个开环零点之间存在实轴根轨迹分支，则在这两个开环零点之间将有一个插入点。

注-脱离和侵入点仅存在于实轴根轨迹分支上。

请按照以下步骤查找突破点和突破点。

• 从特征方程$ 1 + G(s)H(s)= 0 $用$ s $表示$ K $。

• 相对于s区分$ K $，使其等于零。将这些$ s $值代入上式。

• $ K $值为正的$ s $的值是断点。

规则7-找到出发角和到达角。

可以分别在复共轭开环极点和复共轭开环零点分别计算出射角和到达角。

离开角度$ \ phi_d $的公式为

$$ \ phi_d = 180 ^ 0- \ phi $$

到达角$ \ phi_a $的公式为

$$ \ phi_a = 180 ^ 0 + \ phi $$

哪里，

$$ \ phi = \ sum \ phi_P- \ sum \ phi_Z $$

例

现在让我们画出具有开环传递函数的控制系统的根轨迹$ G(s)H(s)= \ frac {K} {s(s + 1)(s + 5)} $

步骤1-给定的开环传递函数具有三个极点，分别为$ s = 0，s = -1 $和$ s = -5 $。没有零。因此，根轨迹分支的数量等于开环传递函数的极数。

$$ N = P = 3 $$

上图中显示了三个极的位置。 $ s = -1 $和$ s = 0 $之间的线段是根轨迹在实轴上的一个分支。根轨迹在实轴上的另一个分支是$ s = -5 $左侧的线段。

步骤2-我们将使用给定的公式获得质心和渐近线的值。

质心$ \ alpha = −2 $

渐近线的角度为$ \ theta = 60 ^ 0,180 ^ 0 $和$ 300 ^ 0 $。

下图显示了质心和三个渐近线。

步骤3-由于两个渐近线的角度分别为$ 60 ^ 0 $和$ 300 ^ 0 $，因此两个根轨迹分支与虚轴相交。通过使用Routh数组方法和特殊情况(ii)，根轨迹分支在$ j \ sqrt {5} $和$ −j \ sqrt {5} $处与虚轴相交。

极点$ s = -1 $和$ s = 0 $之间的实轴根轨迹分支上将有一个脱离点。通过遵循给出的计算突破点的过程，我们将得出：$ s = -0.473 $。

下图显示了给定控制系统的根轨迹图。

这样，您可以绘制任何控制系统的根轨迹图，并观察闭环传递函数的极点运动。

从根轨迹图，我们可以知道不同阻尼类型的K值范围。

添加开环极点和零点对根轨迹的影响

通过添加开环极点和开环零点，根轨迹可以在“ s”平面中移动。

• 如果我们在开环传递函数包括一个极点，那么一些根轨迹分支将朝’s’平面的右半部分移动。因此，阻尼比$ \ delta $减小。这意味着，衰减的频率$ \ omega_d $会增加，而时域规范(例如延迟时间$ t_d $，上升时间$ t_r $和峰值时间$ t_p $)会减少。但是，它会影响系统稳定性。

• 如果我们在开环传递函数包括零，则一些根轨迹分支将朝’s’平面的左半部分移动。因此，它将增加控制系统的稳定性。在这种情况下，阻尼比$ \ delta $增加。这意味着，阻尼频率$ \ omega_d $减小，而时域规范(例如延迟时间$ t_d $，上升时间$ t_r $和峰值时间$ t_p $)增加。

因此，根据需求，我们可以将开环极点或零点添加(添加)到传递函数。