📅 最后修改于: 2020-11-25 05:20:26 🧑 作者: Mango
我们已经讨论了控制系统的时间响应分析和二阶控制系统的时域规范。在本章中，让我们讨论控制系统的频率响应分析和二阶控制系统的频域规格。
系统的响应可以分为瞬态响应和稳态响应。我们可以通过使用傅立叶积分找到瞬态响应。对于输入正弦信号的系统的稳态响应称为频率响应。在本章中，我们将仅关注稳态响应。
如果将正弦信号用作线性时不变(LTI)系统的输入，则它会产生稳态输出，这也是一个正弦信号。输入和输出正弦信号具有相同的频率，但幅度和相位角不同。
令输入信号为-
$$ r(t)= A \ sin(\ omega_0t)$$
开环传递函数将是-
$$ G(s)= G(j \ omega)$$
我们可以用大小和相位表示$ G(j \ omega)$，如下所示。
$$ G(j \ omega)= | G(j \ omega)| \ angle G(j \ omega)$$
用上述等式替换$ \ omega = \ omega_0 $。
$$ G(j \ omega_0)= | G(j \ omega_0)| \ angle G(j \ omega_0)$$
输出信号是
$$ c(t)= A | G(j \ omega_0)| \ sin(\ omega_0t + \ angle G(j \ omega_0))$$
输出的正弦信号的幅度由输入正弦信号的振幅和$ G(j \欧米加)$中的$ \欧米加= \ omega_0 $幅度相乘而获得。
输出的正弦信号的相位是通过将输入正弦信号的相位和$ G(j \欧米加)$中的$ \欧米加= \ omega_0 $的相位时。
哪里，
A是输入正弦信号的幅度。
ω0是输入正弦信号的角频率。
我们可以写出角频率$ \ omega_0 $，如下所示。
$$ \ omega_0 = 2 \ pi f_0 $$
$ f_0 $是输入正弦信号的频率。同样，对于闭环控制系统，您可以遵循相同的步骤。
频域规格是谐振峰值，谐振频率和带宽。
考虑二阶闭环控制系统的传递函数为
$$ T(s)= \ frac {C(s)} {R(s}} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$
用上面的等式代入$ s = j \ omega $。
$$ T(j \ omega)= \ frac {\ omega_n ^ 2} {(j \ omega)^ 2 + 2 \ delta \ omega_n(j \ omega)+ \ omega_n ^ 2} $$
$$ \ Rightarrow T(j \ omega)= \ frac {\ omega_n ^ 2} {-\ omega ^ 2 + 2j \ delta \ omega \ omega_n + \ omega_n ^ 2} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {\ omega_n ^ 2 \ left(1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} + \ frac {2j \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right)} $$
$$ \ Rightarrow T(j \ omega)= \ frac {1} {\ left(1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} \ right)+ j \ left(\ frac {2 \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right}} $$
设$ \ frac {\ omega} {\ omega_n} = u $用上式代入该值。
$$ T(j \ omega)= \ frac {1} {(1-u ^ 2)+ j(2 \ delta u)} $$
$ T(j \ omega)$的幅值为-
$$ M = | T(j \ omega)| = \分数{1} {\ sqrt {(1-u ^ 2)^ 2 +(2 \ delta u)^ 2}} $$
$ T(j \ omega)$的相位是-
$$ \ angle T(j \ omega)=-tan ^ {-1} \ left(\ frac {2 \ delta u} {1-u ^ 2} \ right)$$
这是频率响应的幅度首次达到峰值的频率。用$ \ omega_r $表示。在$ \ omega = \ omega_r $时，$ T(j \ omega)$的大小的一阶导数为零。
将$ M $与$ u $相区别。
$$ \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} =-\ frac {1} {2} \ left [(1-u ^ 2)^ 2 +(2 \ delta u)^ 2 \ right] ^ {\ frac {-3} {2}} \ left [2(1-u ^ 2)(-2u)+2(2 \ delta u)(2 \ delta)\ right] $$
$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} =-\ frac {1} {2} \ left [(1-u ^ 2)^ 2 +(2 \ delta u )^ 2 \ right] ^ {\ frac {-3} {2}} \ left [4u(u ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2)\ right] $$
用上述等式替换$ u = u_r $和$ \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} == 0 $。
$$ 0 =-\ frac {1} {2} \ left [(1-u_r ^ 2)^ 2 +(2 \ delta u_r)^ 2 \ right] ^ {-\ frac {3} {2}} \ left [4u_r(u_r ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2)\ right] $$
$$ \ Rightarrow 4u_r(u_r ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2)= 0 $$
$$ \ Rightarrow u_r ^ 2-1 + 2 \ delta ^ 2 = 0 $$
$$ \ Rightarrow u_r ^ 2 = 1-2 \ delta ^ 2 $$
$$ \ Rightarrow u_r = \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$
用上面的公式替换$ u_r = \ frac {\ omega_r} {\ omega_n} $。
$$ \ frac {\ omega_r} {\ omega_n} = \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$
$$ \ Rightarrow \ omega_r = \ omega_n \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$
它是$ T(j \ omega)$的大小的峰值(最大值)。用$ M_r $表示。
在$ u = u_r $时，$ T(j \ omega)$的大小为-
$$ M_r = \ frac {1} {\ sqrt {(1-u_r ^ 2)^ 2 +(2 \ delta u_r)^ 2}} $$
在上面的等式中，代入$ u_r = \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $和$ 1-u_r ^ 2 = 2 \ delta ^ 2 $。
$$ M_r = \ frac {1} {\ sqrt {(2 \ delta ^ 2)^ 2 +(2 \ delta \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2})^ 2}} $$
$$ \ Rightarrow M_r = \ frac {1} {2 \ delta \ sqrt {1- \ delta ^ 2}} $$
对于某些阻尼比$ \ delta $，频率响应的谐振峰值对应于时域瞬态响应中的峰值超调。因此，谐振峰值和峰值过冲相互关联。
在该频率范围内，$ T(jω)$的大小从零频率值下降到70.7％。
在$ \ omega = 0 $时，$ u $的值为零。
用M代替$ u = 0 $。
$$ M = \ frac {1} {\ sqrt {(1-0 ^ 2)^ 2 +(2 \ delta(0))^ 2}} = 1 $$
因此，$ T(j \ omega)$的大小在$ \ omega = 0 $时为1。
在3 dB频率下，在$ω= 0时，$ T(jω)$的大小将是$ T(j \ omega)$的大小的70.7％。
即，在$ \ omega = \ omega_B，M = 0.707(1)= \ frac {1} {\ sqrt {2}} $
$$ \ Rightarrow M = \ frac {1} {\ sqrt {2}} = \ frac {1} {\ sqrt {(1-u_b ^ 2)^ 2 +(2 \ delta u_b)^ 2}} $$
$$ \ Rightarrow 2 =(1-u_b ^ 2)^ 2 +(2 \ delta)^ 2 u_b ^ 2 $$
设$ u_b ^ 2 = x $
$$ \ Rightarrow 2 =(1-x)^ 2 +(2 \ delta)^ 2 x $$
$$ \ Rightarrow x ^ 2 +(4 \ delta ^ 2-2)x-1 = 0 $$
$$ \ Rightarrow x = \ frac {-(4 \ delta ^ 2 -2)\ pm \ sqrt {(4 \ delta ^ 2-2)^ 2 + 4}} {2} $$
仅考虑x的正值。
$$ x = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2 \ delta ^ 2-1)^ 2 + 1} $$
$$ \ Rightarrow x = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)} $$
代替$ x = u_b ^ 2 = \ frac {\ omega_b ^ 2} {\ omega_n ^ 2} $
$$ \ frac {\ omega_b ^ 2} {\ omega_n ^ 2} = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)} $$
$$ \ Rightarrow \ omega_b = \ omega_n \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)}} $$
频率响应中的带宽$ \ omega_b $与时域瞬态响应中的上升时间$ t_r $成反比。