在根轨迹图中，我们可以观察到闭环极点的路径。因此，我们可以确定控制系统的性质。在这种技术中，我们将使用开环传递函数来了解闭环控制系统的稳定性。

根源基础

根轨迹是通过将系统增益K从零变为无穷大，特征方程式根的轨迹。

我们知道，闭环控制系统的特征方程为

$$ 1 + G(s)H(s)= 0 $$

我们可以将$ G(s)H(s)$表示为

$$ G(s)H(s)= K \ frac {N(s)} {D(s)} $$

哪里，

• K代表乘数

• N(s)代表具有(s)^个n阶多项式的分子项。

• d(s)表示具有分母项(因式分解)米的’的^阶多项式。

用特征方程中的$ G(s)H(s)$值代替。

$$ 1 + k \ frac {N(s)} {D(s)} = 0 $$

$$ \ Rightarrow D(s)+ KN(s)= 0 $$

情况1 − K = 0

如果$ K = 0 $，则$ D(s)= 0 $。

这就是说，当K为零时，闭环极点等于开环极点。

情况2-K =∞

将以上特征方程式改写为

$$ K \ left(\ frac {1} {K} + \ frac {N(s}} {D(s}} \ right)= 0 \ Rightarrow \ frac {1} {K} + \ frac {N( s)} {D(s)} = 0 $$

用上面的等式代入$ K = \ infty $。

$$ \ frac {1} {\ infty} + \ frac {N(s}} {D(s)} = 0 \ Rightarrow \ frac {N(s)} {D(s)} = 0 \ Rightarrow N( s)= 0 $$

如果$ K = \ infty $，则$ N(s)= 0 $。这意味着当K为无穷大时，闭环极点等于开环零点。

从以上两种情况，我们可以得出结论，根轨迹分支始于开环极点，终止于开环零点。

角度条件和幅度条件

根轨迹分支上的点满足角度条件。因此，角度条件用于了解该点是否存在于根轨迹分支上。通过使用量级条件，我们可以找到根轨迹分支上的点的K值。因此，我们可以将幅度条件用于点，这可以满足角度条件。

闭环控制系统的特征方程为

$$ 1 + G(s)H(s)= 0 $$

$$ \ Rightarrow G(s)H(s)=-1 + j0 $$

$ G(s)H(s)$的相角为

$$ \ angle G(s)H(s)= \ tan ^ {-1} \ left(\ frac {0} {-1} \ right)=(2n + 1)\ pi $$

角度条件是开环传递函数的角度为180 ⁰的奇数倍的点。

$ G(s)H(s)$的幅值为-

$$ | G(s)H(s)| = \ sqrt {(-1)^ 2 + 0 ^ 2} = 1 $$

大小条件是指开环传递函数的大小为1的点(满足角度条件)。