查找树中距离正好为 k 的不同顶点对的数量

在计算机科学中，查找树（Search Tree）是一种树形数据结构，用于维护有序数据的集合。查找树中的每个节点都包含一个key和相应的值。与二叉树不同的是，查找树可以是任意的树形结构，但每个节点的左子树节点的值都小于该节点的值，右子树节点的值都大于该节点的值。

在查找树中，如果想要找到距离某个节点正好为k的所有节点，可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来实现。但是，这种方法可能会遇到一些问题，例如在巨大的树中搜索 k 远的所有节点将花费很长时间。

一种更有效的方法是使用两次 DFS 。首先从根节点开始，深度优先遍历整个树，计算每个节点到根节点的距离。然后，在每个节点的子树中递归计算所有满足距离相等的节点对的数量。这个过程可以使用一个哈希表来统计距离相等的节点对的数量，其中距离是特定节点到根节点的距离。

代码实现

class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right

def countPairs(root: TreeNode, k: int) -> int:
    distances = {}
    count = [0]

    # 计算每个节点到根节点的距离
    def dfs_calculate(root, distance):
        if not root:
            return
        distances[root] = distance
        dfs_calculate(root.left, distance + 1)
        dfs_calculate(root.right, distance + 1)

    # 计算满足距离相等的节点对的数量
    def dfs_count_pairs(node, target_distance):
        if not node:
            return
        if node in distances:
            distance = distances[node]
            if distance == target_distance:
                count[0] += 1
        dfs_count_pairs(node.left, target_distance)
        dfs_count_pairs(node.right, target_distance)

    dfs_calculate(root, 0)

    # 遍历树中的每个节点并计算距离等于k的节点对的数量
    for node in distances:
        if (k - distances[node]) in distances:
            dfs_count_pairs(node, k - distances[node])

    return count[0] // 2

时间复杂度分析

该算法具有线性时间复杂度O(n)，其中n是树中的节点数。首先，我们需要遍历整棵树一次来计算每个节点到根节点的距离，这需要O(n)的时间。然后，我们需要遍历每个distance节点等于k - distances [node]的节点，这也需要O(n)的时间。在为每个节点计算skip-links时，我们需要一个哈希表来存储节点距离数据。哈希表插入和查找的平均时间为O(1) ，因此在最坏情况下，哈希表需要O(n)的时间。因此，该算法总时间复杂度为O(n) + O(n) + O(n) = O(N)