找出一棵树中距离恰好为k的不同对顶点的数量

在一棵树中，距离定义为两个顶点间的边的数量。本题目的要求是找出距离恰好为k的不同对顶点的数量。本文将介绍如何解决这个问题，主要思路是使用深度优先搜索和动态规划。

解题思路

1. 构建有向无环图(DAG)

将树转换为DAG，树的根节点作为DAG的根节点，其他节点向上层节点连有向边。

2. 动态规划

使用动态规划来解决这个问题。假设 $dp(v,i)$表示以节点$v$为根的子树中，与节点$v$距离为$i$的节点数目，则有:

$$dp(v, i)=1+\sum_{w\in son(v)}dp(w, i-1)$$

在这个递推式中，对于节点$v$，它的答案应该等于将所有$i-1$距离的子节点$w$的答案加起来，并且在这基础上加上它与子节点的距离为$1$。

由于任意两个节点之间的距离是唯一确定的，因此任意两个节点的距离不会超过树的直径。所以，只需要计算$dp(v,i)$在$0\leq i\leq diam$范围内的值。

最终的答案是所有$d(i,j)==k$的节点对$(i,j)$的个数。

代码实现

def dfs(u, fa):
    for v in G[u]:
        if v == fa:
            continue
        dfs(v, u)
        for i in range(1, K + 1):
            dp[u][i] += dp[v][i - 1]

    for i in range(1, K + 1):
        ans[0] += dp[u][i] * dp[u][K - i]
        ans[1] += dp[u][i] * (dp[u][i] - 1) // 2
    dp[u][0] = 1

上述代码实现了深度优先搜索并使用动态规划计算距离。其中，$G$为有向无环图，$dp$为动态规划数组，$ans$为最终答案。在代码中的第8行和第11行分别计算了所有$d(i,j)==k$的节点对$(i,j)$的个数。

总结

上述算法的时间复杂度为$O(nk)$，其中$n$为节点个数，$k$为树的直径。因此，在实践中，这个算法的效率可能会较低。如果树的直径比较大，可以考虑使用哈希表等数据结构来进一步优化算法。