给定木棍形成的长方形和正方形的长度之和的最大值

问题描述

给定 n 根长度为正整数的木棍，你可以将其拼接起来。将木棍拼接成一个长方形，或者多个正方形，请输出能够拼成的最大的长度之和。每根木棍只能使用一次。

示例 1：

输入：[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11]
输出：24
解释：
能拼成一个边长为 4 ，面积为 16 的正方形。
或者一个边长为 2 ，面积为 4 的正方形。
或者一个边长为 3 ，面积为 9 的正方形加一个4x2的矩形。
组合[1,2,3,4,5,6,7,8,9]则更长，最长96。

解法

显然，不可能存在总长度小于所有木棍总长度的长方形或正方形，因此可以先判断木棍总长度是否能够构成正方形，如果不能，直接返回0。如果能，可以将木棍排序，从大到小依次尝试将木棍加入正方形中。

假设最后可以拼成一个边长为 $L$ 的正方形，在长度为 $L$ 的木棍中选取长度最长的木棍，假设为 $x$，加入正方形中。如果此时无法继续拼成正方形，则减去 $x$。如果可以继续拼成正方形，则选出长度最长的下一个木棍，重复上述步骤。如果最终可以拼成正方形，则返回正方形的边长，否则返回0。

代码实现

from typing import List

def max_length_sum(sticks: List[int]) -> int:
    # 计算所有木棍的总长度
    total_length = sum(sticks)
    # 如果不能构成正方形，直接返回0
    if total_length % 4 != 0:
        return 0
    # 从大到小排序
    sticks.sort(reverse=True)
    # 边长
    L = total_length // 4
    # 每条边当前长度
    length = [0] * 4
    # 判断是否可以构成正方形
    def dfs(pos: int) -> bool:
        if pos == len(sticks):
            return length[0] == length[1] == length[2] == length[3] == L
        for i in range(4):
            if length[i] + sticks[pos] <= L:
                length[i] += sticks[pos]
                if dfs(pos + 1):
                    return True
                length[i] -= sticks[pos]
        return False
    return L if dfs(0) else 0

总结

本题是一道经典的搜索问题，使用DFS可以得到正确的答案。注意要先判断木棍总长度是否能够构成正方形，否则会超时。