门| GATE CS 2021 |设置 1 |问题 16

本文将介绍GATE CS 2021设置1的第16个问题，该问题涉及到了编程。

问题描述

给定一个字符串，为了检查它是否为回文，你可以在任意位置添加任意多个字符。例如，从字符串“racecar”开始，你可以添加一个字符'b'来得到“bracecar”，或添加一个字符'k'来得到“racecark”。你需要找到添加最少的字符来使给定的字符串成为回文。

解题思路

此问题可以通过动态规划来解决。定义一个二维数组dp[i][j]，其中i和j分别表示字符串s的起始位置和终止位置。如果s[i:j]是回文串，则dp[i][j]为true。如果不是，则dp[i][j]为false。

根据回文串的定义，dp[i][j]为true的条件是dp[i+1][j-1]为true且s[i]==s[j]。

对于每个子问题，我们要么在字符串s的前面或后面添加一个字符，要么在字符串s的头或尾添加相同字符，以保持回文性。因此，我们可以通过以下方式来填充dp数组：

• 初始化dp[i][i]为true，i为0到n-1（n为字符串s的长度）。
• 对于所有i和j，如果i>j，则dp[i][j]=false。
• 对于所有i和j，如果i<j，则dp[i][j]=dp[i+1][j-1] && s[i]==s[j]。

最后，我们需要找到最少的插入次数，使得整个字符串成为回文。我们可以使用双指针法得到答案。具体来说，我们设两个指针i和j，i从0开始指向字符串的左端，j从n-1开始指向字符串的右端。如果s[i]==s[j]，则将i向右移动一位，j向左移动一位。否则，我们需要使用以下两种操作之一：

• 在j和j-1之间插入s[i]，i不变，j向左移动一位。
• 在i和i+1之间插入s[j]，i向右移动一位，j不变。

将两种操作中插入字符数的较小值加到计数器中，然后更新i和j。

代码实现

以下是使用Python实现以上算法的代码：

def minInsertions(s: str) -> int:
    n = len(s)
    dp = [[False] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        dp[i][i] = True
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        for j in range(i + 1, n):
            if s[i] == s[j]:
                dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] if i + 1 < j else True
            else:
                dp[i][j] = i + 1 < j and dp[i + 1][j - 1]
    i, j = 0, n - 1
    ans = 0
    while i < j:
        if s[i] == s[j]:
            i += 1
            j -= 1
        elif dp[i + 1][j] and dp[i][j - 1]:
            ans += 1
            i += 1
            j -= 1
        elif dp[i + 1][j]:
            ans += 1
            i += 1
        else:
            ans += 1
            j -= 1
    return ans

以上代码的时间复杂度为$O(n^2)$，空间复杂度为$O(n^2)$，其中$n$为字符串s的长度。