门 | GATE CS 2021 |设置 2 |问题 7

本题是 Gate 计算机科学 2021 年的考题之一，涉及到对于一个给定的有向图，如何找到从起点到终点的所有可行路径。这是一个比较常见的图论问题，同时也是算法和数据结构的经典应用之一。

问题描述

给定一个有向无环图，找出从起点到终点的所有可行路径。起点和终点是图的两个特定节点，因此路径必须从起点出发，到达终点，并且不能包含环。我们需要输出所有这样的路径。

解法

对于有向无环图，可以使用拓扑排序的方式来实现之。拓扑排序是对有向无环图(Directed Acyclic Graph，简称DAG)的所有顶点进行线性排序。使得对于任何的一条有向边(u, v)，都有顶点u（在排序记录中）比顶点v先出现（也可以理解为顶点u拓扑在顶点v之前）。拓扑排序可以用来判断有向图是否有环。若有环则没有拓扑排序，无法得到结果。

拓扑排序算法的基本思想是：从 DAG 中选择一个 没有前驱（即入度为0）的顶点并输出。然后从图中删除该顶点和所有以它为起点的弧，重复此操作直到所有顶点均已输出。

以下是一种 DFS + 拓扑排序的实现方式，时间复杂度为 O(n!)。

from typing import List

def find_all_paths_dfs(graph: List[List[int]], start: int, end: int) -> List[List[int]]:
    n = len(graph)
    visited = [False] * n
    stack = [start]
    paths = []

    def dfs(node: int, path: List[int]):
        if node == end:
            paths.append(path)
        visited[node] = True
        for neighbor in graph[node]:
            if not visited[neighbor]:
                dfs(neighbor, path + [neighbor])
        visited[node] = False

    dfs(start, stack)
    return paths

def find_all_paths_topo_sort(graph: List[List[int]], start: int, end: int) -> List[List[int]]:
    n = len(graph)
    in_degrees = [0] * n
    for i in range(n):
        for j in graph[i]:
            in_degrees[j] += 1

    path = [start]
    paths = []

    def topo_sort(node: int):
        if node == end:
            paths.append(list(path))
        else:
            for neighbor in graph[node]:
                in_degrees[neighbor] -= 1
                path.append(neighbor)
                if in_degrees[neighbor] == 0:
                    topo_sort(neighbor)
                in_degrees[neighbor] += 1
                path.pop()

    topo_sort(start)
    return paths

上述代码中，find_all_paths_dfs 函数使用 DFS 遍历整个图，找到从起点到终点的所有路径。此函数的时间复杂度非常高，即 O(n!)，因此不适用于大型的 DAG。

相比之下，find_all_paths_topo_sort 利用了拓扑排序算法的优势，时间复杂度得到了很大的优化。在实际应用中，我们应该优先使用这一算法。

总结

本题是典型的图论问题，旨在帮助我们熟悉拓扑排序算法的应用场景。当我们需要在有向无环图中寻找从起点到终点的所有可行路径时，可以使用 DFS + 拓扑排序的方式来实现之。其中，DFS 用于遍历整个图，寻找全部路径；拓扑排序则利用了 DAG 的特性，实现了高效的路径查找算法。