对值的最大总和问题

问题描述

给定一个正整数 N，你需要构造一个数组，使得同一组对的值应该是范围 [1, N] 内 $i$ 的倍数（注意，在概念上，元素 $i$ 和元素 $j$ 形成一个对，当且仅当 $i$ 是 $j$ 的一个倍数或者 $j$ 是 $i$ 的一个倍数）。返回这样一个数组，按照要求，其中的每一个数均为正整数。对值的最大总和要尽可能大。

问题分析

本问题可以用简单的贪心算法求解。我们可以考虑将所有元素按照升序排序，然后从前往后依次构造每一个数，使得它是已经构造的数中最大的倍数加上 $1$。可证明，这种方法可以构造出一组最优解。

具体分析如下。

假设当前已经构造了 $k$ 个数，这 $k$ 个数是 $a_1, a_2, \dots, a_k$，它们与其它元素形成了若干个对。根据定义，这些对的形式有如下几种：$(a_i, x)$（$x$ 是 $a_i$ 的倍数），$(x, a_i)$、$(a_i, a_j)$（$i < j$ 且 $a_j$ 是 $a_i$ 的倍数）。我们可以将这些对按照 $a_i$ 的值升序排序，分别记为 $(a_1, x_1), (a_2, x_2), \dots, (a_m, x_m)$ 和 $(a'_1, a'_2), \dots, (a'n, a'{n-1}, a'_n)$。

假设最优解是 $b_1, b_2, \dots, b_k$，不妨假设它们与其它元素形成的对的集合与 $a_1, a_2, \dots, a_k$ 构成的对的集合相同。考虑对于任意 $i \in [1, k]$，有 $b_i \geq a_i$。如果存在 $i$ 使得 $b_i < a_i$，那么我们可以将 $b_i$ 变成 $a_i$，然后不断调整后面的元素，使得满足条件。这样，我们构造出的新解与原来的解在对值总和上相等，同时新解与已构造数列的对的集合也相同，而且新解中不会出现负数或者 $0$。因此我们可以假设 $b_i \geq a_i$。

对于第 $i$ 个数（$i > k$），我们需要构造一个最大的满足对值条件的数字。根据上述假设，这个数字必须是某个已构造的数的倍数加上 $1$。我们只需要找到最大的 $j$，使得 $a_j$ 是 $i$ 的倍数（即存在对 $(i, a_j)$），然后令 $b_i = a_j + 1$ 即可。如果不存在这样的 $j$，那么 $b_i = 1$。可以证明，这种方法可以得到一组最优解。

算法的时间复杂度为 $O(N \log N)$。

代码实现

def maxSumDivisibleByN(N):
    a = [(i + 1) for i in range(N)]
    x = [N] * N
    for i in range(N):
        for j in range(i + 1, N):
            if (j + 1) % (i + 1) == 0:
                x[j] = min(x[j], i)
    b = sorted(range(N), key=lambda i: (x[i], i))
    ans = [0] * N
    for i in b:
        for j in range(N):
            if ans[j] == 0 and (j + 1) % (i + 1) == 0:
                ans[j] = i + 1
    return ans

总结

本问题比较简单，但是除了贪心算法之外，还存在一些其他的做法，例如递归、动态规划等。在实际应用中，我们可能需要对这些方法进行优化、扩展，以适应更多的需求。