使矩阵回文中的每条路径所需的最小更改

本文将介绍如何解决以下问题：给定一个方阵，以及从某个位置出发的所有路径，找到使得每一条路径都成为回文所需要的最小更改次数。

问题的分析

这个问题可以通过动态规划来解决。首先需要定义状态。设 $f_{i,j,d}$ 表示从位置 $(i,j)$ 出发的长度为 $d$ 的路径需要的最小更改数。

则问题的答案即为 $f_{i,j,n}$，其中 $n$ 是方阵的大小。

接下来需要分析如何进行状态转移。以下分两种情况：

• 对于路径的两端，它们应该是相等的。所以可以通过 $f_{i,j,d-2}$ 来更新 $f_{i,j,d}$。
• 对于中间的部分，它们可以任意变化。因此可以通过 $f_{i+1,j,d-2}$、$f_{i,j+1,d-2}$、$f_{i+1,j+1,d-2}$ 三个状态来更新 $f_{i,j,d}$。

状态转移方程为：

$$ f_{i,j,d}=\begin{cases} 0 & d=0 \ s(i,j,d) & d=1 \ f_{i+1,j+1,d-2} & S(i)\equiv S(j) \ f_{i,j+1,d-2}+1 & \text{otherwise} \end{cases} $$

其中 $S(i)$ 表示方阵中第 $i$ 行的内容，$s(i,j,d)$ 表示从位置 $(i,j)$ 出发长度为 $d$ 的路径需要的最小更改次数（这个可以通过字符串的编辑距离算法来求解）。

最终结果为 $f_{1,1,n}$。

代码实现

以下实现以 Python 为例：

def palindrome_path(matrix):
    n = len(matrix)
    # 初始化状态矩阵
    f = [[[0] * (n - i + 1) for _ in range(n)] for i in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            f[i][j][0] = 0
            f[i][j][1] = 0 if i == j else 1
    # 状态转移
    for d in range(2, n + 1):
        for i in range(n - d + 1):
            for j in range(n - d + 1):
                if matrix[i] == matrix[j + d - 1]:
                    f[i][j][d] = f[i + 1][j + 1][d - 2]
                else:
                    f[i][j][d] = min(
                        f[i + 1][j][d - 2] + 1,
                        f[i][j + 1][d - 2] + 1,
                        f[i + 1][j + 1][d - 2] + 2,
                    )
    return f[0][0][n]

其中，matrix 为方阵，每行为一个字符串。这个函数的时间复杂度为 $O(n^3)$，空间复杂度为 $O(n^3)$。