矩阵中的最小成本路径(仅移动X的值差)

简介

矩阵中的最小成本路径指的是在一个给定矩阵中从左上角到右下角的一条路径，使得路径上相邻两个元素的差的绝对值为X的最小成本。这是一个比较常见的算法问题，通常使用动态规划的方法解决。

解法

一般来说，最小成本路径问题都可以使用动态规划来解决。下面介绍使用动态规划求解矩阵中的最小成本路径的方法。

设dp[i][j]表示从左上角到位置(i,j)的最小成本路径。

1. 对于第一行和第一列，dp[i][0]和dp[0][j]的值可以直接根据矩阵中的元素计算得到。

2. 对于除第一行和第一列以外的其他位置(i,j)，我们可以使用以下递推式：

$$ dp[i][j]=min(dp[i-1][j]+abs(matrix[i][j]-matrix[i-1][j]),dp[i][j-1]+abs(matrix[i][j]-matrix[i][j-1])) $$

上述递推式的意义是从上面的位置(i-1,j)或左边的位置(i,j-1)转移而来，取其中的最小值并加上移动的成本(abs(matrix[i][j]-matrix[i-1][j])或abs(matrix[i][j]-matrix[i][j-1]))。

3. 最终答案即为dp[m-1][n-1]，其中m和n分别为矩阵的行数和列数。

为了节省空间，我们可以将dp数组优化成一维数组，即dp[j]表示到达位置(i,j)的最小成本路径，其中i是当前正在处理的行数。在遍历每一行时，我们只需要使用上一行的dp数组来计算当前行的dp值，因此只需要使用一个长度为n的一维数组即可（n为矩阵的列数）。

代码实现

以下是使用Python实现矩阵中的最小成本路径的代码实现：

def min_cost_path(matrix, x):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    dp = [float('inf')] * n
    dp[0] = 0

    for i in range(m):
        prev = dp[0]
        for j in range(n):
            curr = dp[j]
            if i == 0 and j > 0:
                dp[j] = dp[j-1] + abs(matrix[i][j] - matrix[i][j-1])
            elif j == 0:
                dp[j] = prev + abs(matrix[i][j] - matrix[i-1][j])
            else:
                dp[j] = min(dp[j-1], dp[j]) + abs(matrix[i][j] - matrix[i][j-1])
            prev = curr

    return dp[n-1]

该实现使用了一维数组来存储dp值，只需要O(n)的空间，时间复杂度为O(mn)。