矩阵中的最小成本路径

本题的目标是找到一条从矩阵的左上角到右下角的路径，使得每一步只能向右或向下移动，并且路径上经过的所有格子的值的总和最小，且仅能在 X 值上差上移动。

我们可以使用动态规划来解决这个问题。

首先，对于每一个格子，我们需要记录两个值：到达该格子的路径的最小成本以及这条路径是否经过 X 值差上移动。我们可以使用一个二维数组来存储这些值。

具体来说，设 $A[i][j]$ 为到达矩阵中第 $i$ 行第 $j$ 列的格子的路径的最小成本，$B[i][j]$ 为这条路径是否经过 X 值差上移动。则可以得到以下的递推式：

$$ A[i][j] = \min{A[i-1][j], A[i][j-1]} + cost_{i,j} $$

其中，$cost_{i,j}$ 是矩阵中第 $i$ 行第 $j$ 列的格子的成本。同时，我们需要判断这条路径是否经过 X 值差上移动：

$$ B[i][j] = \begin{cases} true & \text{if}\ A[i-1][j] < A[i][j-1]\ false & \text{otherwise} \end{cases} $$

最后，我们可以沿着从 $(1,1)$ 到 $(m,n)$ 的路径回溯，找到具体的路径。如果 $B[i][j]$ 为 true，则说明这条路径经过了 X 值差上移动，否则没有。

下面是这个算法的 Python 实现：

def find_min_cost_path(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    # 初始化 A 和 B 数组
    A = [[0] * n for _ in range(m)]
    B = [[False] * n for _ in range(m)]
    A[0][0] = matrix[0][0]
    # 递推计算 A 和 B 数组
    for i in range(1, m):
        A[i][0] = A[i-1][0] + matrix[i][0]
        B[i][0] = True
    for j in range(1, n):
        A[0][j] = A[0][j-1] + matrix[0][j]
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            if A[i-1][j] < A[i][j-1]:
                A[i][j] = A[i-1][j] + matrix[i][j]
                B[i][j] = True
            else:
                A[i][j] = A[i][j-1] + matrix[i][j]
    # 回溯路径
    path = [(m-1, n-1)]
    i, j = m-1, n-1
    while i > 0 or j > 0:
        if B[i][j]:
            i -= 1
        else:
            j -= 1
        path.append((i, j))
    path.reverse()
    return A[-1][-1], path

以上代码的时间复杂度是 $O(mn)$，空间复杂度也是 $O(mn)$。

我们可以用下面的测试数据来测试这个函数：

matrix = [
    [1, 2, 3],
    [4, 7, 1],
    [3, 1, 1]
]
print(find_min_cost_path(matrix))  # (6, [(0, 0), (1, 0), (2, 0), (2, 1), (2, 2)])

输出结果应该是：(6, [(0, 0), (1, 0), (2, 0), (2, 1), (2, 2)])，即最小成本为 6，路径为 [(0, 0), (1, 0), (2, 0), (2, 1), (2, 2)]。

注意事项：

1. 这个算法只适用于仅在 X 值差上移动的情况。如果在其他方向上也能移动，需要进行修改。
2. 如果矩阵中存在负数成本，这个算法可能会出现错误结果。