选择最远点之间距离<= L 的三个点的方法

问题描述

我们有一个点集，其中每个点的坐标已知。现在需要从这个点集中选择三个点，使得这三个点之间的距离最远，且距离不大于预设的阈值 L。请说明如何解决这个问题。

解决方案

1. 暴力枚举

暴力枚举是一种朴素但高效的解决方案。我们可以枚举每三个点的组合，计算它们之间的距离是否满足条件。时间复杂度为 O(n^3)。虽然时间复杂度很高，但如果数据规模较小，这种方法是可行的。

def max_distance(points, L):
    max_d = -1
    for i in range(len(points)):
        for j in range(i+1, len(points)):
            for k in range(j+1, len(points)):
                d = distance(points[i], points[j]) + distance(points[i], points[k]) + distance(points[j], points[k])
                if d <= L and d > max_d:
                    max_d = d
                    result = [points[i], points[j], points[k]]
    return result

2. 分治算法

分治算法是一种高效的解决方案。我们可以将点集按坐标轴划分成两组，再递归地划分，并求解每一对子集之间的最大距离。如果最大距离小于 L，则不用比较该子集内的距离；否则需要在子集内比较所有点之间的距离。时间复杂度为 O(nlogn)。接下来，我们分别来看分治算法的两个重要步骤。

2.1 划分点集

我们可以按照横坐标或纵坐标将点集划分成两个子集。此处以横坐标举例。我们将点按横坐标升序排序，取中点为分界点，分成左右两个子集。

def divide(points):
    n = len(points)
    mid = n // 2
    left = points[:mid]
    right = points[mid:]
    return left, right

2.2 求解距离

在求解距离时，我们需要考虑三种情况：跨越左右两个子集、完全在左子集内、完全在右子集内。对于第一种情况，我们可以将左子集和右子集分别递归求解，然后在跨越两个子集的点之间选择距离最大的三个点。对于第二种情况，我们只需要在左子集内比较所有点对之间的距离。对于第三种情况，我们只需要在右子集内比较所有点对之间的距离。

def max_distance(points, L):
    if len(points) < 3:
        return None
    elif len(points) == 3:
        d = distance(points[0], points[1]) + distance(points[0], points[2]) + distance(points[1], points[2])
        return points if d <= L else None
    else:
        left, right = divide(sorted(points, key=lambda x: x[0]))
        max_left = max_distance(left, L)
        max_right = max_distance(right, L)
        
        if max_left is None and max_right is None:
            return None
        if max_left is None:
            return max_right
        if max_right is None:
            return max_left

        max_d = -1
        result = None
        for p1 in max_left:
            for p2 in max_right:
                d = distance(p1, p2)
                if d <= L and d > max_d:
                    result = [p1, p2]
                    max_d = d

        for i in range(len(max_left)):
            for j in range(i+1, len(max_left)):
                for k in range(len(max_right)):
                    d = distance(max_left[i], max_left[j]) + distance(max_left[i], max_right[k]) + distance(max_left[j], max_right[k])
                    if d <= L and d > max_d:
                        result = [max_left[i], max_left[j], max_right[k]]
                        max_d = d
        return result

总结

本文介绍了两种解决选择最远点之间距离<= L 的三个点的方法：暴力枚举和分治算法。暴力枚举时间复杂度为 O(n^3)，分治算法时间复杂度为 O(nlogn)。分治算法相比于暴力枚举具有更高的时间效率。但是，分治算法并不是万能的，当数据规模较小时，暴力枚举也是一种可行的解决方案。