图中最远节点的距离最小值

在一个无向连通图中，最远节点的距离指的是从一个节点出发，到达图中任意一个节点的最大距离。为了求解这个最远节点的距离最小值问题，我们可以使用二分答案和广度优先搜索的算法。

算法思路

首先明确一下，最远节点的距离最小值一定是在1和图中直径（diameter）之间。因此，我们可以使用二分答案的思想，从1到直径之间二分出一个距离值mid，然后使用广度优先搜索算法，从任意一个节点开始进行搜索，并记录搜索到的最远距离。如果最远距离小于等于mid，则继续增大mid的值，否则缩小mid的值。当1和图中直径的距离被缩小到1e-7以下的精度时，就可以认为找到了最小的最远节点距离了。

算法实现

下面以 Python 语言实现该算法，其中graph为图的邻接表表示。代码片段如下：

import queue

def bfs(graph, start, mid):
    q = queue.Queue()
    visited = [False] * len(graph)
    q.put(start)
    visited[start] = True
    distance = [0] * len(graph)
    while not q.empty():
        v = q.get()
        for u, w in graph[v]:
            if not visited[u] and w <= mid:
                q.put(u)
                visited[u] = True
                distance[u] = distance[v] + w
    return max(distance)

def min_max_distance(graph):
    # 求出图的直径
    diameter_start = bfs(graph, 0, 0)
    diameter_end = bfs(graph, diameter_start, 0)
    diameter = bfs(graph, diameter_end, 0)

    # 二分答案求最小的最远节点距离
    low, high = 1, diameter
    while high - low > 1e-7:
        mid = (low + high) / 2
        if bfs(graph, 0, mid) <= mid:
            high = mid
        else:
            low = mid
    return high

算法分析

时间复杂度为 $O(m \log d)$，其中 $m$ 表示图中边的数量，$d$ 表示图中的直径。空间复杂度为 $O(n + m)$，其中 $n$ 表示图中点的数量，$m$ 表示图中边的数量。

总结

使用二分答案和广度优先搜索算法可以求解图中最远节点的距离最小值问题，时间复杂度为 $O(m \log d)$，其中 $m$ 表示图中边的数量，$d$ 表示图中的直径。该算法比较简单且实用，可以用于解决距离优化等相关问题。