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📜  仿射密码的实现(1)

📅  最后修改于: 2023-12-03 15:06:41.487000             🧑  作者: Mango

仿射密码的实现

仿射密码是一种古典密码学中的基本密码算法，它是一种替换密码算法，采用一个可逆的仿射变换来加密明文。具体而言，仿射变换是指将明文中每一个字母都映射成另一个字母，映射的规则由一个关键字和一个偏移值共同决定。相比于凯撒密码、多表密码等简单的替换密码算法，仿射密码具有更高的安全性。

基本原理

假设明文中的每个字符可以表示为 $x$，密文中的对应字符可以表示为 $y$。仿射变换的一般形式为：

$$ y = ax+b\ (\textrm{mod}\ m) $$

其中 $a,b$ 是密钥，$m$ 是明文字符集的大小。在仿射密码中，$a$ 必须是明文字符集大小 $m$ 关于整数 $b$ 的一个模反元素，这样才能保证密钥的逆元存在。因此，仿射密码一般采用一个有序数组（或列表） $K=(a,b)$ 作为密钥。

由于仿射变换是通过数学运算实现的，因此我们可以用程序来实现它。以下是 Python 代码实现：

def affine_transform(K, x, m=26):
    a, b = K
    y = (a * x + b) % m
    return y

以上代码实现了一个基本的仿射变换，它接受一个密钥 $K$，一个明文字符 $x$ 和明文字符集大小 $m$，返回对应的密文字符 $y$。

加密过程

对于一个给定的明文字符串，我们可以将其中的每个字符都映射成对应的密文字符。加密的过程可以分为以下几个步骤：

  1. 首先，需要确定密钥 $K=(a,b)$。对于仿射密码，密钥只有两个参数：$a$ 和 $b$。$a$ 必须是 $m$ 的模反元素，$b$ 取值范围为 $[0,m-1]$。

  2. 然后，将每个明文字符 $x_i$ 用仿射变换映射成密文字符 $y_i$：

    $$ y_i = ax_i+b\ (\textrm{mod}\ m) $$

    具体实现可以使用上述 affine_transform 函数。

  3. 最后，将密文字符按照顺序连接起来，得到密文字符串。

以下是 Python 代码实现：

def affine_encrypt(plaintext, K, m=26):
    ciphertext = ""
    a, b = K
    for c in plaintext:
        if c.isalpha():
            x = ord(c.upper()) - ord('A')
            y = affine_transform(K, x, m)
            ciphertext += chr(y + ord('A'))
        else:
            ciphertext += c
    return ciphertext

以上代码实现了一个仿射密码的加密算法。它接受一个明文字符串，一个密钥 $K=(a,b)$，明文字符集大小 $m$，返回对应的密文字符串。

解密过程

对于一个给定的密文字符串，我们可以将其中的每个字符都映射成对应的明文字符。解密的过程可以分为以下几个步骤：

  1. 首先，需要确定密钥 $K=(a,b)$。与加密过程相同。

  2. 然后，将每个密文字符 $y_i$ 用仿射变换的逆运算映射成明文字符 $x_i$：

    $$ x_i = a^{-1}(y_i-b)\ (\textrm{mod}\ m) $$

    具体实现可以使用扩展欧几里得算法求出 $a$ 的逆元，然后使用上述 affine_transform 函数。

  3. 最后，将明文字符按照顺序连接起来，得到明文字符串。

以下是 Python 代码实现：

def mod_inverse(a, m):
    for x in range(1, m):
        if (a*x) % m == 1:
            return x
    return None

def affine_decrypt(ciphertext, K, m=26):
    plaintext = ""
    a, b = K
    a_inverse = mod_inverse(a, m)
    if a_inverse is None:
        return None
    for c in ciphertext:
        if c.isalpha():
            y = ord(c.upper()) - ord('A')
            x = affine_transform((a_inverse, -a_inverse*b), y, m)
            plaintext += chr(x + ord('A'))
        else:
            plaintext += c
    return plaintext

以上代码实现了一个仿射密码的解密算法。它接受一个密文字符串，一个密钥 $K=(a,b)$，明文字符集大小 $m$，返回对应的明文字符串。

安全性

虽然仿射密码具有比凯撒密码、多表密码等简单的替换密码算法更高的安全性，但它的安全性仍然很容易被破解。实际上，仿射密码只有 26 种不同的密钥，因此可以通过暴力穷举密钥的方式轻易地破解。因此，仿射密码一般只被用作其他更加复杂的密码系统的组成部分。

参考资料