仿射空间

仿射空间是具有向量空间 \vec{E} 和加性 \vec{E} 在集合 E 上的传递和自由作用的集合 E。空间 A 的元素称为点。与仿射空间相关联的向量空间 \vec{E} 被称为自由向量，并且动作 +: E * \vec{E} \rightarrow E 满足以下条件：

正确的身份：a + 0 = a $\, \forall \, a \,\epsilon \,A$
关联性： $(a + u) + v = a + (u+v) \, \forall a \, \epsilon \, E \,\, \forall \, \, u, v \, \epsilon \, \vec{E}$
对于任意两点 a,b \epsilon E，存在唯一的 u 使得：

$a + u =b$

其中 u \epsilon \vec{E} 可以表示为ab或 \vec{ab} 或有时表示为 ba。因此，我们可以写出上面的等式

$b= a + ab$

例子：

.考虑的子集 L $A^2$ 由满足方程的所有点 (x, y) 组成：

$x+y - 1=0$

L 是通过点 (1,0) 和 (0,1) 的斜率为 -1 的直线。直线 L 可以是一个仿射空间，通过定义动作 +: L * R \rightarrow L of R on L 定义为 L 上的每个点 (x, 1-x) 和任何 u \epsilon R。

$(x, 1-x) + u = (x+u, 1-x-u)$

现在，对于 L 上的任意两点 a =(a_1, 1- a_1) 和 b = (b_1, 1-b_1)，唯一向量 u \epsilon R 使得 b = a+u 是 u = b_1 – a_1。注意向量空间R同构于通过原点的方程 x + y = 0 的直线。

查尔斯的身份

给定任意三分 $a,b,c \epsilon$ , 因为 c = a + ac, b = a + ab, 并且 c = b + bc, 我们得到

$c = b+ bc = a + ab +bc$

通过应用上述性质 2 和 3，

$ab +bc = ac$

上述等式称为 chasles Identity。自从

a = a + aa

并通过使用属性 1 我们，得到

a = a+ 0

因此，通过使用性质 3，我们得到：

$aa=0$

用 a 代替 Chasles Identity 中的 c，我们得到：

ba =-ab

现在，对于 4 个点 a,b,c,d \epsilon E。 chasles 恒等式可以表示为：

ad+bc = ad+ dc = ac

仿射组合/重心

类似于线性代数中的线性组合，仿射几何中的相应概念是仿射组合，也称为重心

将二维空间视为仿射空间，原点 O= (0,0) 和基向量 (1,0) 和 (0,1)。给定任意两点 a =(a1, a2) 和 b =(b1, b2) 可以有一个自然组合使得 \lambda a+ \mu b 或：

$(\lambda a_1 + \mu b_1, \lambda a_2 + \mu b_2)$

当 a = (-1, -1) 且 b = (2, 2) 时，因此 a+b 可表示为：c = (1,1)。

现在，考虑相对于原点 c = (1, 1) 的新坐标系。现在，a 的坐标 = (-2, -2)，b 的坐标是 (1, 1)，d 的点 = (-1, -1)。但是，点 d 与第一坐标系的原点 O = (0, 0) 相同。

因此，a + b 对应于两个不同的点，具体取决于用于其计算的坐标系。这意味着我们需要额外的条件来进行仿射计算。结果标量总和为 1。这有助于我们定义重心

对于 E 中的任何点族 (a_i)_{i\epsilon I}，对于任何标量族，使得 $\sum_{i \epsilon I } \lambda_i =1$ 并且对于任何 $a \epsilon E$ ，点

$a + \sum_{i \epsilon I} \lambda_i a a_i$ 称为分配权重的点 a_i的重心 $\lambda_i$ 并表示为：

$\sum_{i \epsilon E} \lambda_i a_i$ .

重心用符号方便地表示 $(a, \lambda)$ ，然而 $a \epsilon E$ 是一个点并且 $\lambda \epsilon R$ 称为标量。

仿射子空间

V 是的仿射子空间 $\vec{E}$ 在...方向 $\vec{V}$

给定仿射空间 $\left \langle E, \vec{E}, + \right \rangle$ , E 的子集 V 是 $\left \langle E, \vec{E}, + \right \rangle$ , 如果对于每个家庭的加权点 $((ai , λi))_{i \epsilon I}$ 在 V 使得 $\sum_{i \epsilon I} \lambda_i = 1$ ，重心 $\sum_{i \epsilon I } \lambda_{i} a_i$ 属于 V 。

参考：

仿射空间宾夕法尼亚大学