如果对于任何两个不同的点，穿过这些点的线位于集合$ A $中，则将集合$ A $称为仿射集合。

注意–

• $ S $是仿射集，当且仅当它包含其点的每个仿射组合时。

• 空集和单例集都是仿射集和凸集。

  例如，线性方程的解是仿射集。

证明

令S为线性方程的解。

根据定义，$ S = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ n：Ax = b \ right \} $

设$ x_1，x_2 \ in S \ Rightarrow Ax_1 = b $和$ Ax_2 = b $

证明：$ A \ left [\ theta x_1 + \ left(1- \ theta \ right)x_2 \ right] = b，\ forall \ theta \ in \ left(0,1 \ right)$

$ A \ left [\ theta x_1 + \ left(1- \ theta \ right)x_2 \ right] = \ theta Ax_1 + \ left(1- \ theta \ right)Ax_2 = \ theta b + \ left(1- \ theta \ right )b = b $

因此，S是一个仿射集。

定理

如果$ C $是一个仿射集，而$ x_0 \在C $中，则集合$ V = C-x_0 = \ left \ {x-x_0：x \ in C \ right \} $是C的子空间。

证明

设$ x_1，x_2 \ in V $

显示：$ \ alpha x_1 + \ beta x_2 \ in V $中的某些$ \ alpha，\ beta $

现在，根据V的定义，$ x_1 + x_0 \ in C $和$ x_2 + x_0 \ in C $

现在，$ \ alpha x_1 + \ beta x_2 + x_0 = \ alpha \ left(x_1 + x_0 \ right)+ \ beta \ left(x_2 + x_0 \ right)+ \ left(1- \ alpha-\ beta \ right)x_0 $

但是$ \ alpha \ left(x_1 + x_0 \ right)+ \ beta \ left(x_2 + x_0 \ right)+ \ left(1- \ alpha-\ beta \ right)x_0 \在C $中是因为C是一个仿射集。

因此，$ \ alpha x_1 + \ beta x_2 \ in V $

由此证明。