旋转运动学

不难注意到旋转运动和运动运动的相似性质。角速度和角加速度的术语提醒我们线速度和加速度。所以，类似于运动学方程。还可以定义旋转运动方程。这些方程有助于我们计算旋转角度、角速度等参数。让我们看看这些等式，看看它们如何在类似的环境中使用。

旋转运动学

旋转量，例如角度θ 、角速度ω和角加速度α 。让我们看看运动方程与旋转运动方程的关系。考虑一个以角加速度开始旋转并经过许多圈的轮子。就形式符号而言，可以说具有大α的车轮最终以大角度旋转经过数圈 ( θ) 。这种情况类似于车辆在道路上以一定的加速度行驶并达到一定的速度。这些参数可以使用线性运动的运动学来计算。类似的方法可以用于旋转运动。这些方程称为旋转运动的运动学方程。下表代表了一些类似的数量。

Rotational	Translational
ω	v
θ	s
α	a
θ = ωt	s = vt

运动学方程

对于以加速度“a”运动的物体。假设时间用“t”表示，当前速度用“v”表示，初始速度用“u”表示，物体经过的距离用“s”表示。下面给出了控制这个运动的方程。请记住，这些方程式仅适用于加速度“a”恒定且物体沿直线移动的情况。

1. v = u + at
2. $s = ut + \frac{1}{2}at^2$
3. v² = u² + 2as

现在，在旋转运动的情况下，速度（v）对应于角速度（ ω ）。位移“s”类似于旋转角（ θ ），加速度（a）类似于角加速度（ α ）。

旋转运动的运动学方程

对于以角加速度α 旋转的物体。假设时间用“t”表示，当前角速度用ω表示，初始速度用 θ 表示，物体覆盖的角度用θ 表示。下面给出了控制这个运动的方程。请记住，这些方程仅适用于角加速度恒定的情况。

1. $\omega = \omega_o + \alpha t$
2. $\theta = \omega_ot + \frac{1}{2}\alpha t^2$
3. $\omega^2 = \omega_o^2 + 2\alpha\theta$

示例问题

问题1：如果物体以15rad/s的角速度旋转，5秒内的角位移是多少？

回答：

Let $\omega_o$ denote the initial angular velocity.

Given: $\omega_o = 15 \text{ rad/s}$

The goal is to find angular displacement $\theta$

$\theta = \omega.t \\ = \theta = (15)(5) \\ = \theta = 75 \text{ rad.}$

问题 2：如果物体以 2 弧度/秒²的加速度旋转。如果初始角速度是 15rad/s，那么 5 秒内的速度是多少？

回答：

Let $\omega_o$ denote the initial angular velocity and $\omega$ denote the final angular velocity. 

Given: $\omega_o$ = 15, $\alpha$ = 2 radians/s²

For finding out the value of “v”, the first equation of motion can be used. 

$\omega = \omega_o + \alpha t$

Plugging the values in this equation, 

$\omega = \omega_o + \alpha t \\ = \omega = 15 + (2)(5) \\ = \omega = 15 + (10) \\ = \omega = 25 \text{ rad/s}$

问题 3：如果物体以 -10 弧度/秒²的加速度旋转。如果初始角速度是 30rad/s，那么 5 秒内的速度是多少？

回答：

Let $\omega_o$ denote the initial angular velocity and $\omega$ denote the final angular velocity. 

Given:$\omega_o = 30$, $\alpha = -10$ radians/s²

For finding out the value of “v”, the first equation of motion can be used. 

$\omega = \omega_o + \alpha t$

Plugging the values into this equation, 

$\omega = \omega_o + \alpha t \\ = \omega = 30 + (-10)(5) \\ = \omega = 30 + (-50) \\ = \omega = -20 \text{ rad/s}$

问题 4：如果物体以5 rad/s ²的角加速度运动。如果初始速度是 40rad/s，那么 3 秒内经过的角度是多少？

回答：

Let u denote the initial velocity 

Given: $\omega_0 = 40 \text{ rad/s}$, $\alpha = 5$ and t = 5 

For finding out the value of “$\theta$“, the first equation of motion can be used. 

$\theta = \omega_ot + \frac{1}{2}\alpha t^2$

Plugging the values into this equation, 

$\theta = \omega_ot + \frac{1}{2}\alpha t^2 \\ = \theta = (40)(3) + \frac{1}{2}(5)(3^2) \\ = \theta = 120 + \frac{1}{2}(45) \\ = \theta = 120 + 22.5 \\ = \theta = 142.5 \text{ rad}$

问题 5：如果物体以 2 rad/s ²的角加速度运动。如果初始速度是 10rad/s，那么 10 秒内经过的角度是多少？

回答：

Let u denote the initial velocity 

Given: $\omega_0 = 10 \text{ rad/s}$, $\alpha = 2$ and t = 5 

For finding out the value of “$\theta$“, the first equation of motion can be used. 

$\theta = \omega_ot + \frac{1}{2}\alpha t^2$

Plugging the values into this equation, 

$\theta = \omega_ot + \frac{1}{2}\alpha t^2 \\ = \theta = (10)(10) + \frac{1}{2}(2)(10^2) \\ = \theta = 100 + 100 \\ = \theta = 200 \text{ rad.}$

问题 6：赛车的车轮在 2 秒内达到 20rad/s 的速度。求过程中车轮的角位移。

回答：

Let $\omega_o$ denote the initial angular velocity and $\omega$ denote the final angular velocity. 

Given: $\omega_o =0$, $\omega= 20m/s$ and t= 2. 

For finding out the value of “a”, the first equation of motion can be used. 

$\omega = \omega_o + \alpha t$

Plugging the values in this equation, 

$\omega = \omega_o + \alpha t\\ 20 = 0 + \alpha(2) \\ 10 = \alpha$

 For finding out the distance, a third equation of motion will be used. 

$\omega^2 = \omega_o^2 + 2\alpha\theta \\ = 20^2 = 2(\alpha)(\theta) \\ = 400 = 2(10)(\theta) \\ = 20 = \theta$

问题 7：赛车的车轮在 4 秒内达到 40rad/s 的速度。求过程中车轮的角位移。

回答：

Let $\omega_o$ denote the initial angular velocity and $\omega$ denote the final angular velocity. 

Given: $\omega_o =0$,$\omega= 40\text{ rad/s}$ and t = 4. 

For finding out the value of “a”, the first equation of motion can be used. 

$\omega = \omega_o + \alpha t$

Plugging the values into this equation, 

$\omega = \omega_o + \alpha t\\ 40 = 0 + \alpha(4) \\ 10 = \alpha$

 For finding out the distance, a third equation of motion will be used. 

$\omega^2 = \omega_o^2 + 2\alpha\theta \\ = 40^2 = 2(\alpha)(\theta) \\ = 1600 = 2(10)(\theta) \\ = 80 = \theta$