矩阵链乘法

这是动态编程下的一种方法，其中以前的输出用作下一个的输入。

在这里，Chain表示一个矩阵的列等于第二个矩阵的行(总是)。

一般来说：

然后

给定以下矩阵{A ₁ ，A ₂ ，A ₃ ，… A _n }，我们必须执行矩阵乘法，这可以通过一系列矩阵乘法来实现

矩阵乘法运算本质上是关联的，而是可交换的。这样，我们的意思是我们必须遵循上述矩阵顺序进行乘法运算，但是我们可以根据需要随意在上面的括号中加上括号。

通常，对于1≤i≤p和1≤j≤r

可以看到，矩阵“ C”中的总条目为“ pr”，因为矩阵的维数为pxr。此外，每个条目都需要O(q)次来计算，因此计算矩阵“ C”的所有可能条目所需的总时间'是'A'和'B'的乘积，与尺寸pq r的乘积成比例。

还应注意，我们可以通过对括号重新排序来节省操作数。

例1：让我们有3个矩阵，分别是(1 x 100)，(100 x 5)和(5 x 50)的_{A 1} ，A ₂ ，A _3。

可以通过两种方式将三个矩阵相乘：

• A ₁ ，(A ₂ ，A ₃ )：首先相乘(A ₂和A ₃ )，然后相乘并_{与A 1}相加。
• (A ₁ ，A ₂ )，A ₃ ：首先相乘(A ₁和A ₂ )，然后相乘并得到A ₃ 。

情况1中的标量乘法数将为：

(100 x 5 x 50) + (10 x 100 x 50) = 25000 + 50000 = 75000

情况2中的标量乘法数将为：

(100 x 10 x 5) + (10 x 5 x 50) = 5000 + 2500 = 7500

为了找到最佳的计算乘积的方法，我们可以简单地用各种可能的方式对表达式加上括号，并在每次需要多少个标量乘法时计数。

矩阵链乘法问题可以表述为“找到要相乘的矩阵链的最佳括号，以使标量乘法的数量最小化”。

对矩阵加括号的方式数目：

括号内有很多方法可以使用这些矩阵。如果有n个项，则可以通过(n-1)种方式放置最外面的一对括号。

可以看出，在分割第k个矩阵之后，我们剩下两个带括号的矩阵序列：一个由“ k”个矩阵组成，另一个由“ nk”个矩阵组成。

现在有左括号括起来的“ L”方式和右子括号括起来的“ R”方式，那么Total将是LR：

同样p(n)= c(n-1)，其中c(n)是第n个Catalon数

c(n)=

在应用斯特林公式时，我们有

c(n)=Ω

这表明4 ⁿ增长更快，因为它是指数函数，则n ^1.5 。

动态规划算法的发展

• 表征最佳解决方案的结构。
• 递归定义最佳解决方案的值。
• 以自下而上的方式计算最佳解决方案的价值。
• 根据计算的信息构造最佳解决方案。

动态规划方法

令A _i，j为矩阵i与j相乘的结果。可以看出，A _i，j的维数为p _i-1 xp _j矩阵。

动态编程解决方案涉及将问题分解为多个子问题，可以将这些子问题的解决方案结合起来以解决全局问题。

在最大括号内，我们将两个矩阵相乘

因此，我们剩下两个问题：

• 如何分割矩阵序列?
• 如何在子序列A _{1 …… k和}A _{k + 1 … n中}加上括号?

找到“ k”的最佳值的第一个问题的一个可能答案是，检查“ k”的所有可能选择，并考虑其中的最佳选择。但是可以观察到，检查所有可能性将导致总可能性呈指数增长。还可以注意到，仅存在O(n ² )个不同的矩阵序列，以这种方式无法达到指数增长。

步骤1：最优括号的结构：我们在动态范例中的第一步是找到最优子结构，然后使用它来构造从最优解到子问题的最优解。

设A _{i …. j} ，其中i≤j表示评估乘积所得的矩阵

A _i A _{i + 1} …. A _j

如果我置于I A _{I + 1} ……_第j必须拆分是A _k和A _{K + 1}之间的乘积在范围I≤ķ≤Ĵ一些整数k。也就是说，对于k的某个值，我们首先计算矩阵A _{i … k}和A _{k + 1..j} ，然后将它们相乘以产生最终乘积A _i..j 。计算A _{i …. k}的成本加上计算A _{k + 1 …. j}的成本加上将它们相乘的成本就是括号的成本。

步骤2：递归解：令m [i，j]是计算矩阵A _{i …. j}所需的最小标量乘法数。

如果i = j，则该链仅由一个矩阵A _{i …. i} = A _i组成，因此不需要标量乘法来计算乘积。因此，对于i = 1、2、3 … n，m [i，j] = 0。

如果i k和A _{k + 1}之间划分，其中i≤k≤j。然后，m [i，j]等于计算子产品A _{i …. k}和A _{k + 1 …. j}的最小成本+将它们相乘的成本。我们知道A _i的维数为p _i-1 xp _i ，因此计算乘积A _{i …. k}和A _{k + 1 …. j}需要p _i-1 p _k p _j标量乘法，我们得到

“ k”只有(j-1)个可能的值，即k = i，i + 1 ….. j-1。由于最佳括号必须为“ k”使用这些值之一，因此我们只需检查所有值即可找到最佳值。

这样圆括号了产品的最小代价A _I A _{I + 1} ……_第j变得

为了构造最优解，让我们将s [i，j]定义为'k'的值，在该值处我们可以对乘积A _i A _{i + 1} ….. A _j进行分割以获得最优括号，即s [i，j] = k使得