矩阵链乘法示例

什么是矩阵链乘法

矩阵链乘法指的是在一组矩阵中求解连乘积的最小代价（通常是乘法次数）。比如，我们有三个矩阵 $A$, $B$ 和 $C$：

$$A_{10 \times 30} \cdot B_{30 \times 5} \cdot C_{5 \times 60}$$

直接计算这个连乘积需要 $10 \times 30 \times 5 + 10 \times 5 \times 60 = 4500$ 个乘法运算，而采用适当的顺序运算的话，可以减少乘法的次数，从而提高效率。

怎么求解矩阵链乘法

矩阵链乘法可以用动态规划算法求解，在 $O(n^3)$ 的时间复杂度内完成。假设我们有 $n$ 个矩阵要计算连乘积的代价，这些矩阵按照其大小从左到右排列如下：

$$A_{d_0 \times d_1} \cdot A_{d_1 \times d_2} \cdot \dots \cdot A_{d_{n-2} \times d_{n-1}} \cdot A_{d_{n-1} \times d_n}$$

其中，第 $i$ 个矩阵的大小是 $d_i \times d_{i+1}$，为了便于计算代价，我们定义 $m_{i,j}$ 表示从矩阵 $A_i$ 到 $A_j$ 的连乘积最小的代价，那么有以下递推式：

$$m_{i,j}=\begin{cases}0&i=j\\min_{i\le k<j}(m_{i,k}+m_{k+1,j}+d_i \times d_{k+1} \times d_{j+1})&i<j\end{cases}$$

其中，$d_i \times d_{k+1} \times d_{j+1}$ 表示矩阵 $A_i$ 到 $A_j$ 的乘法代价。根据这个递推式，我们可以计算出从矩阵 $A_0$ 到 $A_{n-1}$ 的最小连乘积代价 $m_{0,n-1}$。

下面是一个矩阵链乘法求解的示例代码，其中 $d$ 数组表示每个矩阵的大小，函数返回最小代价：

def matrix_chain_order(d):
    n = len(d) - 1
    m = [[0] * n for i in range(n)]
    for l in range(2,n+1):
        for i in range(n-l+1):
            j = i + l - 1
            m[i][j] = float('inf')
            for k in range(i,j):
                m[i][j] = min(m[i][j], m[i][k] + m[k+1][j] + d[i]*d[k+1]*d[j+1])
    return m[0][n-1]

总结

矩阵链乘法虽然是一个优化问题，但它本质上是数学中的一个基础概念，在各类数值计算和科学应用中都有广泛应用。通过这个示例代码，你可以学习到动态规划算法和矩阵乘法的基本知识，也可以感受到数学在计算机程序中的强大威力。