最小生成树的方法

有两种查找最小生成树的方法

• 克鲁斯卡尔算法
• 普里姆算法

克鲁斯卡尔算法：

一种为连接的加权图构造最小生成树的算法。这是一个贪婪算法。贪婪的选择是将最小的重量边缘放置，这并不是因为到目前为止构造的MST中的一个循环。

如果未链接该图，则它将找到最小生成树。

使用Kruskal算法查找MST的步骤：

• 按重量增加的顺序排列G的边缘。
• 仅从G的顶点开始，然后依次进行添加不会导致循环的每个边，直到使用(n-1)个边为止。
• 出口。

分析：其中E是图形中的边数，V是顶点数，可以显示Kruskal算法在O(E log E)时间或简单地在O(E log V)时间中运行，所有这些操作都很简单数据结构。这些运行时间是等效的，因为：

• E最多为V ² ，log V ² = 2 x log V为O(log V)。
• 如果忽略孤立的顶点，它们将成为最小生成树的每个组成部分，V≤2 E，则对数V为O(对数E)。

因此，总时间为

O (E log E) = O (E log V).

例如：使用Kruskal算法找到下图的最小生成树。

解决方案：首先我们将集合A初始化为空集合并创建| v |。树，每个树包含一个带有MAKE-SET过程的顶点。然后按不减小的权重将E中的边缘排序。

有9个顶点和12个边。因此形成的MST(9-1)= 8个边

现在，检查每个边缘(u，v)端点u和v是否属于同一棵树。如果它们这样做，则边缘(u，v)不能作为补充。否则，两个顶点属于不同的树，并且将边(u，v)添加到A，并且通过合并过程将两个树中的顶点合并。

第一步：所以，先取(h，g)边

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步骤2：然后(g，f)边缘。

步骤3：然后考虑(a，b)和(i，g)边缘，森林变成

步骤4：现在，边缘(h，i)。 h和i顶点在同一集合中。因此，它创建了一个周期。因此，该边缘被丢弃。

然后考虑边(c，d)，(b，c)，(a，h)，(d，e)，(e，f)，森林变成了。

步骤5：在(e，f)边缘中，端点e和f都存在于同一棵树中，因此将其丢弃。然后(b，h)沿，它还会创建一个循环。

步骤6：在那条边(d，f)之后，最后的生成树显示为黑线。

步骤7：将需要最小生成树，因为它包含所有9个顶点并且(9-1)= 8个边

e → f,    b → h,    d → f [cycle will be formed]

最低费用MST