最大程度的生成树 (使用 Kruskal 算法)

介绍

最大程度的生成树问题是指，在一个无向带权图中，选择一些边使得它们构成一棵生成树，并且这其中的边权和最大。这是一个经典的图论问题。这个问题可以用 Kruskal 算法来解决。Kruskal 算法是一种贪心算法，它按照边权从小到大的顺序来选择边，并且如果选择某一条边会形成环，则不选择这条边。

算法步骤

1. 将所有边按照边权从大到小排序。
2. 依次遍历排序后的边，如果选择当前边会形成环，则不选择这条边。
3. 最终得到的边就是最大程度的生成树。

实现过程

代码示例

以下是使用 Python 语言实现 Kruskal 算法的代码示例：

def Kruskal(graph, n):
    parent = [i for i in range(n)]
    rank = [0] * n
    edges = []
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            if graph[i][j] != 0:
                edges.append((graph[i][j], i, j))
    edges.sort(reverse=True)
    result = []
    for edge in edges:
        weight, u, v = edge
        root1 = find(parent, u)
        root2 = find(parent, v)
        if root1 != root2:
            result.append(edge)
            rank1 = rank[root1]
            rank2 = rank[root2]
            if rank1 > rank2:
                parent[root2] = root1
            else:
                parent[root1] = root2
                if rank1 == rank2:
                    rank[root2] += 1
    return result    
    
def find(parent, i):
    if parent[i] == i:
        return i
    parent[i] = find(parent, parent[i])
    return parent[i]

代码解释

上述代码实现了 Kruskal 算法。首先建立了一个空的图，然后遍历图的每一条边，将边的信息储存到 edges 列表中，并按边权从大到小进行排序。接着，使用并查集记录每个节点的祖先，并在遍历边时检查它的两个节点是否在同一集合中。如果不在同一个集合中，就选择这条边，并将两个节点合并到同一个集合。最后返回所选边的列表。

在上述代码中，find 函数实现了路径压缩来寻找某个节点的祖先。

总结

Kruskal 算法是一种简单而有效的求解最大程度的生成树问题的算法。它的时间复杂度为 $O(E \log E)$，其中 $E$ 是边的数量。它常常被用于解决实际问题中的最大程度的生成树问题，在网络设计、电力输送网络管理等领域得到广泛应用。