具有最大度数的生成树（使用 Kruskal 算法）

Kruskal 算法是一种构建最小生成树的经典算法，但在某些场景下需要构建最大度数的生成树，本文介绍如何使用 Kruskal 算法实现具有最大度数的生成树。

什么是最大度数的生成树

生成树是指一个图的生成子图，其通过连接所有顶点而无环。在一个无向图中，度数表示与该顶点相邻的边的数量。因此最大度数的生成树即为在一个无向图中，生成一个生成树，使得生成树中最大的度数最大化。

Kruskal 算法

Kruskal 算法是基于贪心思想的算法，将边按权重从小到大排序，每次从中选择一条边并加入生成树，直到所有的边都被选择。当加入一条边时，如果这条边所连的两个顶点不在同一个连通分量中，则将这条边加入生成树。

如何构建具有最大度数的生成树

考虑在 Kruskal 算法的基础上进行改进，我们将边按权重从大到小排序，每次选择一条边并加入生成树，如果加入这条边可以使得某个顶点的度数增加，则将该边加入生成树。一直重复以上操作，直到所有的顶点的度数都不能再增加为止。

下面是使用 Kruskal 算法构建具有最大度数的生成树的代码片段（使用 Python 实现）：

# 定义边的结构体
class Edge:
    def __init__(self, u, v, w):
        self.u = u
        self.v = v
        self.w = w

# 构建具有最大度数的生成树的函数
def max_degree_spanning_tree(n, edges, adj):
    # 初始化并查集
    fa = [i for i in range(n)]
    # 将边按权重从大到小排序
    edges.sort(key=lambda x: x.w, reverse=True)
    # 记录每个顶点的度数
    degree = [0] * n
    # 构建最大度数的生成树
    for e in edges:
        u, v = e.u, e.v
        fu, fv = find(fa, u), find(fa, v)
        if fu != fv:
            if degree[u] < degree[v]:
                u, v = v, u
            adj[u].append(v)
            adj[v].append(u)
            degree[u] += 1
            degree[v] += 1
            fa[fv] = fu

# 并查集的查找操作
def find(fa, x):
    if fa[x] == x:
        return x
    fa[x] = find(fa, fa[x])
    return fa[x]

代码中使用了并查集来判断两个顶点是否在同一个连通分量中，并实现了并查集的查找操作。函数 max_degree_spanning_tree 接受三个参数，分别是顶点数 n，边的列表 edges 和邻接表 adj，其中邻接表 adj 用于记录生成树的信息。函数首先将边按权重从大到小排序，然后依次遍历边，并判断该边是否可以加入生成树。如果加入这条边可以使得某个顶点的度数增加，则将该边加入生成树。函数的返回值是生成的最大度数的生成树的邻接表。

总结

本文介绍了如何使用 Kruskal 算法构建具有最大度数的生成树，通过选择边时的判断条件不同，即可实现不同的生成树。在实际应用中，最大度数的生成树经常被用于设计网络拓扑或社交网络分析等领域。