小于 X 的最大数具有至多 K 个设置位

在计算机科学和数学领域中，经常遇到需要寻找小于给定数 X 的最大数的问题。而在有些场景下，我们还需要限制这个最大数的二进制表示中，设置位（即二进制下为 1 的位）的数量不超过 K。那么如何解决这个问题呢？

解法

要找到小于 X 的最大数，最直观的想法是从高位向低位遍历 X 的二进制表示。我们从最高位开始，每次检验当前位能否置为 0，若能，则将该位置为 0；否则，将该位置为 1，并从该位往低位尽可能多地置 0，直到满足限制为止。如此往复，直到碰到第一个能置为 0 的位为止，这个数就是我们要求的小于 X 的最大数。

这个过程可用如下代码实现：

def find_largest(num, k):
    bin_num = bin(num)[2:]  # 将 num 转为二进制字符串
    cnt = k  # 剩余能够置为 1 的位数
    res = ""
    # 从高到低遍历二进制字符串
    for i in range(len(bin_num)):
        if cnt == 0:
            # 剩余可置为 1 的位数已经为 0，后面的位数全都置为 0
            res += "0" * (len(bin_num) - i)
            break
        if bin_num[i] == "1":
            # 该位已经是 1，继续往下遍历
            res += "1"
        else:
            if cnt == 1:
                # 如果这是最后一次能够置为 1 的机会，就置为 1
                res += "1"
            else:
                # 否则，这个位可以被置为 0 或 1，选择规则如下：
                # 如果剩余能够置为 1 的位数已经大于等于需要被置为 1 的位数（不包括当前位置），
                # 那么就在这个位置置为 1，同时将其后面的所有位全都置为 0
                if cnt - 1 >= len(bin_num) - i - 1:
                    res += "1" + "0" * (len(bin_num) - i - 1)
                    break
                # 如果后面剩余的能够被置为 1 的位数不够，
                # 那就在这个位置置为 0，减少可以被置为 1 的位数
                else:
                    res += "0"
                    cnt -= 1
    return int(res, 2)

时间复杂度

这个算法的时间复杂度为 O(log X)，其中 X 为给定的数。这是因为我们需要遍历 X 的二进制表示，而 X 的二进制表示有 log X 位。

空间复杂度

由于我们需要保存 X 的二进制表示，所以空间复杂度为 O(log X)。

总结

这个算法解决了一个比较常见的问题，适用于在给定的限制下寻找小于某个数的最大数。虽然这个算法看起来比较简单，但需要仔细理解一下它的实现。在实际应用中，还可以根据场景的不同进行适当的调整，比如可以针对某些位的规则进行特殊处理，以便更好地满足实际需求。