无向图中两点之间的路径搜索

在无向图中查找两个顶点之间是否存在路径的问题是一个熟悉的问题。这个问题也有着实际的应用，比如说社交网络中用户之间的关系建立，路线规划等等。本文将介绍几种查找无向图中两个顶点之间是否存在路径的算法。

邻接矩阵

邻接矩阵是一种最常用的图的表示方式，这种方式使用一个 $n \times n$ 的矩阵表示了节点之间的关系。对于一个无向图来说，邻接矩阵是对称的。邻接矩阵中元素的值通常表示两个节点之间是否有边。

在邻接矩阵中搜索节点间路径的算法如下：

def is_path_exist(adj_matrix, u, v):
    n = len(adj_matrix)
    visited = [False] * n
    stack = [u]
  
    while(stack):
        node = stack.pop()
        if(node == v):
            return True
        visited[node] = True
        for i in range(n):
            if(adj_matrix[node][i] and not visited[i]):
                stack.append(i)
    return False

上面的代码使用了深度优先搜索来查找路径，如果找到了终点 v，则返回 True，否则返回 False。时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(n)$。

邻接表

另一种表示无向图的方式是邻接表。邻接表通过一个列表记录每个节点的邻居列表。在这个问题中，将要查找的两个节点分别看做起始节点和终止节点，通过 BFS 或 DFS 查找从起始节点到终止节点。

class Graph:
    def __init__(self, num_vertices):
        self.num_vertices = num_vertices
        self.adj_list = [[] for _ in range(num_vertices)]

    def add_edge(self, u, v):
        self.adj_list[u].append(v)
        self.adj_list[v].append(u)

    def is_path_exist(self, u, v):
        visited = [False] * self.num_vertices
        queue = [u]

        while(queue):
            node = queue.pop(0)
            if(node == v):
                return True
            visited[node] = True
            for i in self.adj_list[node]:
                if(not visited[i]):
                    queue.append(i)
        return False

上面的代码使用了广度优先搜索(BFS)。时间复杂度为 $O(m+n)$，空间复杂度为 $O(n)$。其中 m 是边数，n 是节点数。

总结

本文介绍了两种查找无向图中两个顶点之间是否存在路径的算法。其中邻接矩阵时间复杂度较高，但是在稠密图中效率很高。而邻接表则适合应用于稀疏图的情况。运用这两种算法可以有效地解决无向图中查找路径的问题。